题目

题型：广东省期末题难度：来源：

如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得AC，连接BC，作△ABC的外接圆⊙O，点P为劣弧上的一个动点，弦AB、CP相交于点D。
（1）求∠APB的大小；
（2）当点P运动到何处时，PD⊥AB？并求此时CD：CP的值；
（3）在点P运动过程中，比较PC与AP+PB的大小关系，并对结论给予证明。

答案

解：
（1）
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠APB=120°；
（2）当点P运动到的中点时，PD⊥AB，如图1，连接PC，OA，OB，
设⊙O的半径为r，则CP=2r，
又∵⊙O为等边△ABC的外接圆，
∴∠OAB=30°，在Rt△OAD中，
∵OD=OA=，
∴CD=+r=，
∴CD：CP=：2r=3：4；
（3）PC=AP+PB
证明：如图2，在AP的延长线上取点Q，使PQ=PB，连接BQ，
∵∠APB=120°，
∴∠BPQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PB=BQ，
∵∠CBP=∠CAB+∠ABP=60°+∠ABP，∠ABQ=∠QBP+∠ABP=60°+∠ABP，
∴∠ABQ=∠CBP，在△ABQ和△CBP中，PB=QB，∠CBP=∠ABQ，CB=AB，
∴△ABQ ≌ △CBP，
∴CP=AQ=AP+PQ=AP+PB，
即PC=AP+PB；