题目
题型:不详难度:来源:
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(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立,请证明,若不成立,请说明理由;
(2)当△ADE绕A点旋转到图3的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由.
答案
∵△ABC和△ADE为等边三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60°,
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC,
∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC,
∴∠BAE=∠DAC,(3分)
∴△DAC≌△EAB(SAS),
∴CD=BE.(4分)
(2)△AMN是等边三角形.理由如下:(5分)
∵△ABE≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD
∵M、N分别是BE、CD的中点,
∴BM=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵AB=AC,∠ABE=∠ACD,
∴△ABM≌△ACN.
∴AM=AN,∠MAB=∠NAC.(6分)
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°,
∴△AMN是等边三角形.(7分)
设AD=a,则AB=2a.
∵AD=AE=DE,AB=AC,
∴CE=DE.
∵△ADE为等边三角形,
∴∠DEC=120°,∠ADE=60°,
∴∠EDC=∠ECD=30°,
∴∠ADC=90°.(8分)
∴在Rt△ADC中,AD=a,∠ACD=30°,
∴CD=
3 |
∵N为DC中点,
∴DN=
| ||
2 |
∴AN=
DN2+AD2 |
(
|
| ||
2 |
∵△ADE,△ABC,△AMN为等边三角形,
∴S△ADE:S△ABC:S△AMN=a2:(2a)2:(
| ||
2 |
7 |
4 |
解法二:△AMN是等边三角形.理由如下:(5分)
∵△ABE≌△ACD,M、N分别是BE、CD的中点,
∴AM=AN,NC=MB.
∵AB=AC,
∴△ABM≌△ACN,
∴∠MAB=∠NAC,
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°,
∴△AMN是等边三角形,(7分)
设AD=a,则AD=AE=DE=a,AB=BC=AC=2a,
易证BE⊥AC,
∴BE=
AB2-AE2 |
(2a)2-a2 |
3 |
∴EM=
| ||
2 |
∴AM=
EM2+AE2 |
(
|
| ||
2 |
∵△ADE,△ABC,△AMN为等边三角形,
∴S△ADE:S△ABC:S△AMN=a2:(2a)2:(
| ||
2 |
7 |
4 |
核心考点
试题【如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时,CD=】;主要考察你对等边三角形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:△DAH∽△ECH;
(2)若AH:HB=1:4,求S△DAH:S△ECH.
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(1)求证:着E=C0;
(2)若M,N分别是着E,C0的中点,试判断△BMN的形状,并证明你的结论.
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(1)请写出h与h1、h2、h3的关系式,并说明理由;
(2)若点P在等边△ABC的边上,仍有上述关系吗?
(3)若点P在三角形外,仍有上述关系吗?若有,请你证明,若没有,请你写出它们新的关系式,并给予证明.
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