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题目
题型:不详难度:来源:
如图1,△ABC是正三角形,△BDC是等腰三角形,BD=CD,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.
(1)探究BM、MN、NC之间的关系,并说明理由;
(2)若△ABC的边长为2,求△AMN的周长;
(3)若点M、N分别是线段AB、CA延长线上的点,其他条件不变,此时(1)中的结论是否还成立,在图2中画出图形,并说明理由.
答案
(1)MN=BM+NC.理由如下:
延长AC至E,使得CE=BM(或延长AB至E,使得BE=CN),并连接DE.
∵△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,
∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°,
又BD=DC,且∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°,
∴∠MBD=∠ECD=90°,
在△MBD与△ECD中,BD=CD,∠MBD=∠ECD,CE=BM,
∴△MBD≌△ECD(SAS),
∴MD=DE,
∴△DMN≌△DEN,
∴MN=BM+NC.

(2)利用(1)中的结论得出:
△AMN的周长=AM+MN+AN
=(AM+BM)+(NC+AN)
=2+2=4.

(3)按要求作出图形,(1)中结论不成立,应为MN=NC-BM.
在CA上截取CE=BM.
∵△ABC是正三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
又∵BD=CD,∠BDC=120°,
∴∠BCD=∠CBD=30°,
∴∠MBD=∠ECD=90°,
又∵CE=BM,
∴△BMD≌△CED(SAS),
∠BDC=120°(已知条件)
∴∠BDM=∠CDE
∠MDE=∠BDM+∠BDC-∠CDE=∠BDC=120°
∵∠MDN=60°(已知条件)
∴∠EDN=∠MDE-∠MDN=120°-60°=60°=∠MDN,
∴DE=DM,
又∵ND=ND,∠EDN=∠MDN,MD=ED,
∴△MDN≌△EDN(SAS),
∴MN=NE=NC-CE=NC-BM.
核心考点
试题【如图1,△ABC是正三角形,△BDC是等腰三角形,BD=CD,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.(】;主要考察你对等边三角形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知:点P是等边△ABC内任意一点,它到三边的距离分别为h1、h2、h3,且满足h1+h2+h3=6,则S△ABC=______.
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下列说法中,正确的是(  )
A.等边三角形的“三线合一”
B.有一个角是60°的三角形是等边三角形
C.在直角三角形中,直角边等于斜边的一半
D.有两个角相等的三角形是等边三角形
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如图,在等边△ABC中,AC=3,点O在AC上,且AO=1.点P是AB上一点,连接OP,以线段OP为一边作正△OPD,且O、P、D三点依次呈逆时针方向,当点D恰好落在边BC上时,则AP的长是(  )
A.1B.1.5C.2D.3

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如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)△COD是什么三角形?说明理由;
(2)若AO=n2+1,AD=n2-1,OD=2n(n为大于1的整数),求α的度数;
(3)当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?
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在边长为1的等边三角形内任意放一些点,要使得至少存在2个点之间的距离不超过
1
n
,那么至少应该放几个点(  )
A.n2+1B.2n+1C.2nD.n+1
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