题目

题型：昌平区一模难度：来源：

（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线的交点．请你完成以下作图：过点B作PA的平行线BPˊ，过点C作PD的平行线交BPˊ于点Pˊ，连接PPˊ；
（2）在（1）的条件下，判断PPˊ与BC的位置关系，并证明你的结论；
（3）如图2，若点P为矩形ABCD内任意一点．求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，该四边形的两条对角线分别等于线段AB和BC，且互相垂直．

答案

（1）如图所示：


．

（2）PP"与BC的位置关系为：垂直．
证明：∵BP"∥PA，CP"∥PD，
∴四边形PBP"C是平行四边形，
∵点P是矩形ABCD对角线的交点，
∴BP=

1

2

BD，CP=

1

2

AC，AC=BD，AC∥BD，
∴BP=CP，
∴四边形PBP"C是菱形，
∴PP"⊥BC．

（3）证明：过点B作AP的平行线BP，过点C作PD的平行线交BP"于点P"，连接PP"，交BC于点M．



∴∠PAB+∠ABP"=180°，∠PDC+∠DCP"=180°，
以PB、BP"、P"C、CP为边构成四边形，且以BC、PP"为对角线，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°，
∴∠DAB+ABC=180°，∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△APD≌△BP"C（ASA），
∴AP=BP"
∴四边形ABP"P是平行四边形．
∴AB∥PP"，AB=PP"AP=BP"，
同理可证：PD=CP"，
∴∠PMC=∠ABC=90°，
∴PP"⊥BC于M，
∴以AP、BP、CP、DP为边能构成四边形，该四边形的两条对角线分别等于线段AB和BC，且互相垂直．