题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知四边形ABCD、DEFG均为正方形，
（1）求证：AE=CG，且AE⊥CG；
（2）若正方形ABCD、DEFG的边长分别是3和2，∠ADG=30°，求四边形ACEG的面积．

答案

（1）证明：∵四边形ABCD、GDEF为正方形，
∴CD=AD，GD=DE，
∠CDA=∠EDG=90°，
∴∠CDA+∠ADG=∠GDE+∠ADG，
即：∠CDG=∠ADE，
∴在△CDG和△ADE中，

CD=AD ∠CDG=∠ADE GD=DE

，
∴△CDG≌△ADE，（3分）
∴∠1=∠4，AE=CG，又∠2=∠3，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠GOE=90°，CG⊥AE．（5分）

（2）S_△ACEG=S_△ADG+S_△ACD+S_△GDE+S_△CDE，
过G作GH⊥AD于H，过E作EM⊥CD的延长线于M．
则在Rt△GHD中，GH=DG?sin30°=2×

1

2

=1，
∴S△ADG=

1

2

AD?GH=

1

2

×3×1，


S△ACD=

1

2

CD?AD=

1

2

×3×3=

9

2

，
S△GDE=

1

2

DG?DE=

1

2

×2×2=2，
∵CM⊥AD，∠ADG=30°，
∴∠GDM=60°，又GD⊥DE，
∴在Rt△MDE中，EM=ED?sin30°=2×

1

2

=1，
S△CDE=

1

2

CD?EM=

1

2

×3×1=

3

2

．
S_△ACEG=S_△ADG+S_△ACD+S_△GDE+S_△CDE=9.5，（10分）
法2：设AE、CG相交于点O，过G作GH⊥CD交其延长线于H．
S_{四边形ACEG}=S_△ACG+S_△CEG


=

1

2

CG?AO+

1

2

CG?EO
=

1

2

CG(AO+EO)=

1

2

CG?AE
=

1

2

CG2．
∵∠ADH=90°，∠ADG=30°，
∴∠GDH=60°，又GH⊥DH，
∴在Rt△GDH中，∠DGH=30°，
则DH=

1

2

DG=1，GH=

3

，
∴CH=4．
Rt△CHG中，CG2=CH2+GH2=42+

3

2=19，
∴S四边形ACEG=

19

2

．