题目

题型：不详难度：来源：

已知：⊙O是正三角形ABC的外接圆．
（1）如图1，若PC为⊙O的直径，连接AP，BP，求证：AP+BP=PC；
（2）如图2，若点P是弧AB上任一点，连接AP，B

P，那么结论AP+BP=PC还成立吗？试证明你的结论．

答案

证明：（1）∵△ABC为正三角形，
∴∠APC=∠BPC=60°，
∵PC为⊙O的直径，
∴∠PAC=∠PBC=90°，
∴AP=BP=

1

2

PC，
∴AP+BP=PC；

（2）成立．
在PC上取一点D，使PD=PA，连接AD；
∵∠APD=60°，
∴△APD为等边三角形，
∴AD=PD；
∵∠PAD=∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠DAC，
∵AP=AD，AB=AC，
∴△APB≌△ADC，
∴PB=DC，
∴PA+PB=PD+DC=PC．