题目

题型：专项题难度：来源：

将一个量角器和一个含30°角的直角三角板按如图所示①放置，图②是由它抽象出的几何图形，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OD。
（1）求证：DB∥CF；
（2）当OD=2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB。

答案

解：（1）连结OF，如图，
∵AB切半圆O于F，
∴OF ⊥AB，
∵CB⊥AB，
∴BC∥OF，
∵BC=OD，OD= OF，
∴BC=OF，
∴四边形OBCF是平行四边形，
∴DB∥CF；
（2）∵以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，∠OFB=∠ABC= 90°，
又∵∠OBF=∠BFC，∠BFC>∠A，
∴∠OBF>∠A，
∴∠OBF与∠A不可能是对应角，
∴∠A与∠BOF是对应角，
∴∠BOF=30°
∴OB==。