题目

题型：河北省期中题难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．
（1）当AD=CD时，试说明DE∥AC；
（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

答案

（1）证明：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠BDC=2∠DAC，
又∵DE是∠BDC的平分线,
∴∠BDC=2∠BDE,
∴∠DAC=∠BDE，
∴DE∥AC；
（2）解：①当△BME∽△CNE时，得∠MBE=∠NCE，
∴BD=DC，
∵DE平分∠BDC，
∴DE⊥BC，BE=EC．
∴∠DEB=∠ACB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴，即BD=AB==5，
∴AD=5；
②当△BME∽△ENC时，得∠EBM=∠CEN，
∴EN∥BD，
又∵EN⊥CD，
∴BD⊥CD，即CD是△ABC斜边上的高．
由三角形面积公式得AB·CD=AC·BC，
∴CD=，
∴AD==．
综上所述，当AD=5或时，△BME与△CNE相似．