题目

题型：北京期末题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，2），把Rt△AOB绕着点O顺时针旋转90^。得到Rt△AOB，（点A旋转到点B的位置），抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点D，顶点为点P，对称轴为直线x=3，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）联结BC，CP，PD，BD，求四边形PCBD的面积；
（3）在抛物线上是否存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由。

答案

（1）由题意得：B(0，2)，C(2，0)，对称轴x=3 
        设抛物线的解析式为y=a(x-3)²+k
        ∵抛物线抛物线经过B(0，2)，C(2，0)， 
       ∴
         解这个方程组得： 
         ∴a=，k=-
        ∴y= (x-3)²-
     ∴抛物线的解析式为y=x²- 
 （2）设对称轴与x轴的交点为N
     由图可知：CD=2
       S_△BCD=CD·OB=×2×2=2      
    S_△PCD= CD·PN= CD·︱Py︱=×2×=
     ∴S_{四边形PCBD}= S_△BCD+ S_△PCD=2
（3）假设存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
         即：S_△MCD= S_{四边形PCBD} 
         CD·︱My︱=×
                     ︱My︱=
       又∵点M在抛物线上， 
    
     ∴x²-6x+8=±3
     ∴x²-6x+5=0 或x²-6x+11=0
       由x²-6x+5=0，得x₁=5，x₂=1
       由x²-6x+11=0
      ∵ b²-4ac=36-44=-8<0 
     ∴此方程无实根。 
     当x₁=5时，y₁=；当x₂=1时，y₂=
 ∴存在一点M(5，)，或（1，）使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积。