题目

题型：专项题难度：来源：

善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好，某一天小迪有20分钟时间可用于学习，假设小迪用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间。
      图1                           图2
（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；
（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；
（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大？

答案

解：（1）由题图，设y=kx，当x=l，时y=2，解得k=2，
所以y=2x（0≤x≤20）
即小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式是y=2x；
（2）由题图，当0≤x<4时，设y=a（x-4）²+16，
当x=0时，y=0，
所以0=16a+16，
所以a=-1，
所以y=-（x-4）²+16，
即y=-x²+8x；
当4≤x≤10时，y=16，
因此y=
即小迪回顾反思的学习收益量y用于回顾反思的时间x的函数关系式是
y=
（3）设小迪用于回顾反思的时间为x（0≤x≤10）分钟，学习收益总量为y，则他用于解题的时间为（20-x）分钟，
当0≤x<4时，
y=-x²+8x+2（20-x）=-x²+6x+40=-（x-3）²+49，
当x=3时，y_最大=49，
当4 ≤x≤10时，y=16+2（20-x）=56-2x，
y随 x的增大而减小，因此当x=4时，y_最大=48，
综上，当x=3时，y_最大=49，此时20-x=17，
答：小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习收益总量最大。