题目

题型：模拟题难度：来源：

如图所示，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为A（0，1），与x轴的一个交点B的坐标为（2，0），点P在抛物线上，它的横坐标为2n（0＜n＜l），作PC⊥x 轴于C，PC交射线AB于点D。
（1）求抛物线的解析式；
（2）用含n的代数式表示CD、PD的长，并通过计算说明与的大小关系；
（3）若将原题中“0<n<1”的条件改为“n>1”，其他条件不变，请通过计算说明（2）中的结论是否仍然成立。 

答案

解：（1）如图①，
∵抛物线y=ax2 +bx+c的顶点为A（0，1），且经过点（2，0），
∴y=ax²+1，且4a+1=0，
解得a=-，
∴抛物线的解析式为y=x²+1； （2）设直线AB的解析式为y=kx+b
 ∵A（0，1） B（2，0）
 
∴直线AB的解析式为y=-+1
∵点P的坐标为（2n，1-n²），且点P在第一象限，
又∵PC⊥x轴于C，PC交射线AB于点D
∴x_D=OC=2n，y_D=-×2n+1=1-n，且点D在第一象限
∴CD=1-n，
PD=y_P-y_D=（1-n²）-（1-n）=n²-n=n（1-n）
∵0＜n＜1
∴
∵
∴；（3）当n＞1时，P、D两点在第四象限，且P点在D点的下方（如图），
y_D＞y_p，
点P的坐标为（2n，1-n²）
∵x_D=OC=2n
∴y_D=-×2n+1=1-n
∵D点在第四象限
∴CD=y_D=1-n，P_D=y_P-y_D=n（n-1） 
∵n＞1
∴
∵
∴仍然成立。