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题目
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如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(0,1),与x轴的一个交点B的坐标为(2,0),点P在抛物线上,它的横坐标为2n(0<n<l),作PC⊥x 轴于C,PC交射线AB于点D。
(1)求抛物线的解析式;
(2)用含n的代数式表示CD、PD的长,并通过计算说明的大小关系;
(3)若将原题中“0<n<1”的条件改为“n>1”,其他条件不变,请通过计算说明(2)中的结论是否仍然成立。 
答案
解:(1)如图①,
∵抛物线y=ax2 +bx+c的顶点为A(0,1),且经过点(2,0),
∴y=ax2+1,且4a+1=0,
解得a=-
∴抛物线的解析式为y=x2+1; (2)设直线AB的解析式为y=kx+b
 ∵A(0,1) B(2,0)
 
∴直线AB的解析式为y=-+1
∵点P的坐标为(2n,1-n2),且点P在第一象限,
又∵PC⊥x轴于C,PC交射线AB于点D
∴xD=OC=2n,yD=-×2n+1=1-n,且点D在第一象限
∴CD=1-n,
PD=yP-yD=(1-n2)-(1-n)=n2-n=n(1-n)
∵0<n<1


;(3)当n>1时,P、D两点在第四象限,且P点在D点的下方(如图),
yD>yp
点P的坐标为(2n,1-n2
∵xD=OC=2n
∴yD=-×2n+1=1-n
∵D点在第四象限
∴CD=yD=1-n,PD=yP-yD=n(n-1) 
∵n>1


仍然成立。
核心考点
试题【如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(0,1),与x轴的一个交点B的坐标为(2,0),点P在抛物线上,它的横坐标为2n(0<n<l),作PC⊥x 轴于】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图所示,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C。
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积;
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG垂直x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似?若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由。
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如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,已知AB=6, BC=2,∠DAB=45°,以AB所在直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系,将等腰梯形ABCD绕A点按顺时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG(O、E、F、G分别是A、B、C、D旋转后的对应点) (如图所示);
(1)在直线DC上是否存在一点P,使△EFP为等腰三角形?若存在,写出P点的坐标,若不存在,请说明理由;
(2)将等腰梯形ABCD沿x轴的正半轴平行移动,设移动后OA′= x(O<x≤6),等腰梯形A′B′C′D′与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y,求y与x之间的函数关系式。
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如图,二次函数y1=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(-3,0)、B(1,0),交y轴于点C,C、D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数y2=mx+n的图象经过B、D两点。
(1)求二次函数的解析式及点D的坐标;
(2)根据图象写出y2>y1时,x的取值范围
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如图,在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(0,2),点D在x轴的正半轴上,∠ODB=30°,OE为△BOD的中线,过B、E两点的抛物线y=ax2+x+c与x轴相交于A、F两点(A在F的左侧)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)等边△OMN的顶点M、N在线段AE上,求AE及AM的长;
(3)点P为△ABO内的一个动点,设m=PA+PB+PO,请直接写出m的最小值,以及m取得最小值时,线段AP的长。
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如图,二次函数过A(0,m)、B(-3,0)、C(12,0),过A点作x轴的平行线交抛物线于一点D,线段OC上有一动点P,连接DP,作PE⊥DP,交y轴于点E。
(1)求AD的长;
(2)若在线段OC上存在不同的两点P1、P2,使相应的点E1、E2都与点A重合,试求m的取值范围;
(3)设抛物线的顶点为点Q,当60°≤∠BQC≤90°时,求m的变化范围。
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