题目

题型：北京期末题难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与抛物线交于点A（3， n）。
（1）求n的值及抛物线的解析式；
（2） 过点A作直线BC，交x轴于点B，交反比例函数（x>0）的图象于点C，且AC=2AB，求B、C两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P是抛物线对称轴上的一点，且点P到x轴和直线BC的距离相等，求点P的坐标。

答案

解：（1）∵点A（3， n）在反比例函数的图象上，
∴
∴A（3，），
∵点A（3，）在抛物线上，
∴，
∴
∴抛物线的解析式为；（2）分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，
∴AD∥CE，
∴△ABD∽△CBE，
∴，
∵AC=2AB，
∴，
由题意，得AD=，
∴，
∴CE=4，
即点C的纵坐标为4，
当y=4时，x=1，
∴C（1，4）
∵，DE=2，
∴，
∴BD=1，
∴B（4，0）； （3）∵抛物线的对称轴是，
∴P在直线CE 上，
过点P作PF⊥BC于F，
由题意，得PF=PE，
∵∠PCF =∠BCE，∠CFP =∠CEB =90°，
∴△PCF∽△BCE，
∴，
由题意，得BE=3，BC=5，
①当点P在第一象限内时，设P（1，a） （a＞0），
则有，解得，
∴点P的坐标为，
②当点P在第四象限内时，设P（1，a） （a＜0）
则有，解得，
∴点P的坐标为（-1，6），
∴点P的坐标为或（-1，6）。