题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在边上的点D处，点A、D的坐标分别为（5，0）和（3，0）。
（1）求点C的坐标；
（2）求DE所在直线的解析式；
（3）设过点C的抛物线（b<0）与直线BC的另一个交点为M，问在该抛物线上是否存在点G，使得△CMG为等边三角形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）根据题意，得CD=CB=OA=5，OD=3，
∵∠COD=90°，
∴OC=
∴点C的坐标是（0，4）；
（2）∵AB=OC=4，设AE=x，则DE=BE=4-x，AD=OA-OD=5-3=2，
在Rt△DEA中，DE²=AD²+AE²
∴（4-x）²=2²+x²
解之，得x=，即点E的坐标是（5，），
设DE所在直线的解析式为y=kx+b，
∴解之，得
∴DE所在直线的解析式为；
（3）∵点C（0，4）在抛物线上，
∴c=4，
即抛物线为
假设在抛物线上存在点G，使得△CMG为等边三角形，
根据抛物线的对称性及等边三角形的性质，得点G一定在该抛物线的顶点上，设点G的坐标为（m，n），
∴，n=，
即点G的坐标为
设对称轴x=-与直线CB交于点F，与x轴交于点H，
则点F的坐标为（-，4），
∵b＜0，
∴m＞0，
点G在y轴的右侧，DF=m=-，FH=4，FG=4-
∵CM=CG=2CF=-，
∴在Rt△CGF中，CG²=CF²+FG²，

解之，得b=-2，（∵b＜0）
∴m=-，n=，
∴点G的坐标为，
∴在抛物线上存在点G，使得△CMG为等边三角形。