题目

题型：浙江省模拟题难度：来源：

如图，对称轴为x=3的抛物线y=ax²+2x与轴相交于点B、O。
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
（2）连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l.点P是l上一动点，设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称，
∴点B坐标为（6，0），
将点B坐标代入，
得：36a+12=0，
∴，
∴抛物线解析式为，
当x=3时，，
∴顶点A坐标为（3，3），
（说明：可用对称轴为，求a值，用顶点式求顶点A坐标） （2）设直线AB解析式为y=kx+b，
∵A（3，3），B（6，0），
∴
解得
∴，
∵直线l∥AB且过点O，
∴直线l解析式为y=-x，
∵点p是l上一动点且横坐标为t，
∴点p坐标为（t，-t），
当p在第四象限时（t＞0），

=12×6×3+×6×|t|
=9+3t，
∵0＜S≤18，
∴0＜9+3t≤18，
∴-3＜t≤3，
又t＞0，
∴0＜t≤3.5，
当p在第二象限时（t＜0），
作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N， 则
 
=-3t+9，
∵0＜S≤18，
∴0＜-3t+9≤18，
∴-3≤t＜3，
又t＜0，
∴-3≤t＜0.6，
∴t的取值范围是-3≤t＜0或0＜t≤3；（3）存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）。