题目
题型:山东省中考真题难度:来源:
①如图,已知AD∥BC,AD=BC,点M,N是直线CD上任意两点。
求证:△ABM与△ABN的面积相等;
如图③,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点D,试探究在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等? 若存在,请求出此时点E的坐标,若不存在,请说明理由。(友情提示:解答本问题过程中,可以直接使用“探究新知”中的结论。)
答案
∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,
∴ME=NF,
∵S△ABM=,S△ABN=,
∴S△ABM=S△ABN,
②相等,理由如下:
分别过点D,E作DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分别为H,K.则∠DHA=∠EKB=90°,
∵AD∥BE,
∴∠DAH=∠EBK,
∵AD=BE,
∴△DAH≌△EBK,
∴DH=EK,
∵CD∥AB∥EF,
∴S△ABM=,S△ABG=,
∴S△ABM= S△ABG;
解:因为抛物线的顶点坐标是C(1,4),所以,可设抛物线的表达式为, 又因为抛物线经过点A(3,0),将其坐标代入上式,得,解得,
∴该抛物线的表达式为,即,
∴D点坐标为(0,3),
设直线AD的表达式为,代入点A的坐标,得,解得k=-1,
∴直线AD的表达式为,
过C点作CG⊥x轴,垂足为G,交AD于点H,则H点的纵坐标为-1+3=2,
∴CH=CG-HG=4-2=2,
设点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为,
过E点作EF⊥x轴,垂足为F,交AD于点P,则点P的纵坐标为3-m,EF∥CG,
由(1)可知:若EP=CH,则△ADE与△ADC的面积相等,
①若E点在直线AD的上方(如图③-1),
则PF=3-m,EF=,
∴EP=EF-PF==,
∴,
解得,,
当m=2时,PF=3-2=1,EF=1+2=3,
∴E点坐标为(2,3),
同理 当m=1时,E点坐标为(1,4),与C点重合,
②若E点在直线AD的下方(如图③-2,③-3),
则,
∴,
解得,,
当时,E点的纵坐标为;
当时,E点的纵坐标为,
∴在抛物线上存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等,E点的坐标为E1(2,3);;。
核心考点
试题【(1)探究新知:①如图,已知AD∥BC,AD=BC,点M,N是直线CD上任意两点。求证:△ABM与△ABN的面积相等;②如图,已知AD∥BE,AD=BE,AB∥】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为N,M是该抛物线上位于C、N之间的一动点,求△CMN面积的最大值。
②xC·xD=-yH;
(2)若将上述A点坐标(1,0)改为A点坐标(t,0),t>0,其他条件不变,结论S△CMD∶S梯形ABMC=2∶3是否仍成立?请说明理由。
(3)若A的坐标(t,0)(t>0),又将条件y=x2改为y=ax2(a>0),其他条件不变,那么xC、xD和yH又有怎样的数量关系?写出关系式,并证明。
(2)若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当△APE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使△AGC的面积与(2)中△APE的最大面积相等?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由。
(1)要使铺白色地面砖的面积为5200平方米,那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米?
(2)如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元,铺绿色地面砖的费用为每平方米20元,当广场四角小正方形的边长为多少米时,铺广场地面的总费用最少?最少费用是多少?
(1)求满足条件的所有点B的坐标;
(2)求过O,A,B三点且开口向下的抛物线的函数表达式(只需求出满足条件的一条即可);
(3)在(2)中求出的抛物线上存在点P,使得以O,A,B,P四点为顶点的四边形是梯形,求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积。
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