题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合。
（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标。

答案

解：（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°，
∴∠OPE+∠APB=90°，
又∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPE=∠PBA，
∴Rt△POE∽Rt△BPA，
∴，
即，
∴y=（0＜x＜4），且当x=2时，y有最大值；
（2）由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（4，3），
设过此三点的抛物线为y=ax²+bx+c，
则
∴
y=；
（3）由（2）知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件，
直线PB为y=x-1，与y轴交于点（0，-1），
将PB向上平移2个单位则过点E（0，1），
∴该直线为y=x+1，
由得
∴Q（5，6），
故该抛物线上存在两点Q（4，3）、（5，6）满足条件。