题目

题型：江苏期末题难度：来源：

抛物线y=ax²+2ax-8a（a>0）与x轴交于A、B两点（A在B左），与y轴交于点C ，对称轴与x轴交于点M， 点N为上一点，是以BC为斜边的等腰直角三角形。
（1）求A、B两点的坐标；
（2）判断∠MNB与∠ACB的大小关系，并简单说明理由；
（3）求这个抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在点P，使△PAC的面积与△MAC的面积相等，如果存在求点P的坐标，如果不存在，说明理由。

答案

解：（1）令y=0，即ax²+2ax-8a=0，
∵a＞0，
∴x²+2x-8=0，
解得x₁=-4，x₂=-2，
∴A（-4，0） B（2，0）；
（2） ∠MNB=∠ACB，
理由：由题知点N是△ABC的外心，∠ANB=2∠ACB，而∠MNB=∠ANB，
∴∠MNB=∠ACB；
（3）过点C作CG⊥于点G，
∵△NBC是以BC为斜边的等腰直角三角形，
∴NB=NC，∠MNB+∠CNG=90°，
∵∠NCG+∠CNG=90°，
∴∠MNB=∠NCG，
又∠BMN=∠NGC=90°，
∴△BMN≌△NGC，
∴MN=GC=1，NG=BM=3，
∴OC=4，
∴-8a=-4，
∴a=，
∴y=x²+x-4；
（4）存在，
∵△PAC的面积与△MAC的面积相等，
∴点P必在与直线AC平行且过点M（-1，0）的直线上或过点D（-7，0）的直线上。
①当点P在l₁上时，由题l₁：y=-x-1，
∴解方程组，得，
∴P₁（-2+，1-），P₂（-2-，1+），
②当点P在l₂上时，由题l₂：y=-x-7
∴得到方程组，
∵x²+x-4=-x-7方程没有实数根
∴此时点P不存在，
综合①②知存在点P，分别是：P₁（-2+，1-） P₂（-2-，1+）。