如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴于C(0,﹣2),过A,C画直线.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长;
(3)点M在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H.
①若M在y轴右侧,且△CHM∽△AOC(点C与点A对应),求点M的坐标;
②若圆M的半径为,求点M的坐标.
解:(1)设该二次函数的解析式为:y=a(x+1)(x﹣2),
将x=0,y=﹣2代入,
得﹣2=a(0+1)(0﹣2),
解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x﹣2),
即y=x2﹣x﹣2;
(2)设OP=x,则PC=PA=x+1,
在Rt△POC中,由勾股定理,得x2+22=(x+1)2,
解得,x=,即OP=;
(3)①∵△CHM∽△AOC,∴∠MCH=∠CAO,
(i)如图1,当H在点C下方时,
∵∠MCH=∠CAO,
∴CM∥x轴,
∴yM=﹣2,
∴x2﹣x﹣2=﹣2,
解得x1=0(舍去),x2=1,
∴M(1,﹣2),
(ii)如图1,当H在点C上方时,
∵∠MCH=∠CAO,
∴PA=PC,
由(2)得,M为直线CP与抛物线的另一交点,
设直线CM的解析式为y=kx﹣2,
把P(,0)的坐标代入,
得k﹣2=0,
解得k=,
∴y=x﹣2,
由x﹣2=x2﹣x﹣2,
解得x1=0(舍去),x2=,
此时y=×﹣2=,
∴M"(,),
②在x轴上取一点D,如图(备用图),过点D作DE⊥AC于点E,使DE=,
在Rt△AOC中,AC===,
∵∠COA=∠DEA=90°,∠OAC=∠EAD,
∴△AED∽△AOC,
∴=,即=,
解得AD=2,
∴D(1,0)或D(﹣3,0).
过点D作DM∥AC,交抛物线于M,如图(备用图)
则直线DM的解析式为:y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6,
当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时,即x2+x+4=0,方程无实数根,
当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时,即x2+x﹣4=0,解得x1=,x2=,
∴点M的坐标为(,3+)或(,3﹣).
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