题目

题型：山东省期中题难度：来源：

如图，关于x的二次函数y=x²﹣2mx﹣m﹣2的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（x₁＜0＜x₂），与y轴交于C点。
（1）当m为何值时，AC=BC；
（2）当∠BAC=∠BCO时，求这个二次函数的表达式。

答案

解：（1）要使AC=BC，则该抛物线的对称轴应是y轴，
则有，即m=0，
∴当m=0时，AC=BC；
（2）当∠BAC=∠BCO，
有Rt△AOC∽Rt△COB，则，
即OC²=OAOB，
由题意，知OC=|﹣m﹣2|，OA=|x₁|=﹣x₁，OB=|x₂|=x₂
由根与系数关系，得x₁x₂=﹣m﹣2，
∴OAOB=﹣x₁x₂=m+2
则|﹣m﹣2|²=m+2，
解，得m=﹣2或m=﹣1，
当m=﹣2时，二次函数为y=x²+4x，
此时x₁=﹣4，x₂=0，不合题意，舍去，
当m=﹣1时，二次函数为y=x²+2x﹣1，
此时x₁=﹣1﹣，x₂=﹣1+，符合题意，
∴当∠BAC=∠BCO时，这个二次函数的表达式为y=x²+2x﹣1。