题目
题型:不详难度:来源:
如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?
作法如下:如(1)图,从B出发向河岸引垂线,垂足为D,在AP的延长线上,取B关于河岸的对称点B′,连接AB′,与河岸线相交于P,则P点就是饮马的地方,将军只要从A出发,沿直线走到P,饮马之后,再由P沿直线走到B,所走的路程就是最短的.
(1)观察发现
再如(2)图,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,点E、F是底边AD与BC的中点,连接EF,在线段EF上找一点P,使BP+AP最短.
作点B关于EF的对称点,恰好与点C重合,连接AC交EF于一点,则这点就是所求的点P,故BP+AP的最小值为______.
(2)实践运用
如(3)图,已知⊙O的直径MN=1,点A在圆上,且∠AMN的度数为30°,点B是弧AN的中点,点P在直径MN上运动,求BP+AP的最小值.
(3)拓展迁移
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
①求这条抛物线所对应的函数关系式;
②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M,使△ACM周长最小,请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值.(结果保留根号)
答案
∴∠DAC=∠DCA=30°,
∴∠ACB=30°,
∴∠BAC=90°,
∴tan∠ACB=
AB |
AC |
∴AC=
2 | ||||
|
3 |
故答案为:2
3 |
(2)如图,作点A关于MN的对称点A′,则A′在⊙O上,
连接BA′交MN于P′点,此时BP′+AP′最小.
由对称性可知AP′=A′P′,
∴BP′+AP′=BP′+A′P′=A′B,
连接OA、OB、OA′,
可知弧AN=弧A′N,
则∠NOA′=∠NOA=2∠M=60°,
而点B为弧AN中点,
∴∠BON=30°
∴∠BOA′=90°
而MN=1,
∴在Rt△OA′B中,A′B=
| ||
2 |
即BP+AP的最小值
| ||
2 |
(3)①∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)、
C(0,-3)两点,分别代入二次函数解析式得:
∴
|
解得:a=1,b=-2,c=-3,
∴二次函数解析式为:y=x2-2x-3,
②得到直线BC:y=x-3,
∴M(1,-2),AC的长为:
10 |
∴△ACM周长最小值即是:AM+CM最小时的值,
∵AM+CM=BC=3
2 |
∴△ACM周长最小值为:
10 |
2 |
核心考点
试题【唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题:如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求m的值和抛物线的解析式;
(2)求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集(直接写出答案);
(3)若抛物线与y轴交于C,求△ABC的面积.
3 |
(1)求二次函数解析式;
(2)在x轴上方的抛物线上,是否存在点Q,使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在,请求出Q点的坐标,如果不存在,请说明理由.
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件.经调查发现,甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元,这两种商品每天可各多销售100件.为了使每天获取更大的利润,商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下,当m定为多少时,才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大?每天的最大利润是多少?
(1)画出△OAB关于点O成中心对称的△OA1B1,并写出点B1的坐标;
(2)求出以点B1为顶点,并经过点B的二次函数关系式.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标.
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