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题目
题型:不详难度:来源:
如图,在△ABC中,AB=17,AC=5


2
,∠CAB=45°,点O在BA上移动,以O为圆心作⊙O,使⊙O与边BC相切,切点为D,设⊙O的半径为x,四边形AODC的面积为y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)求x的取值范围;
(3)当x为何值时,⊙O与BC、AC都相切?
答案
(1)如图①,过点C作CE⊥AB,垂足为E.
在Rt△ACE中,AC=5


2
,∠CAB=45°,
∴AE=CE=AC•sin45°=5


2
×


2
2
=5

∴BE=AB-AE=17-5=12,CB=


CE2+EB2
=


52+122
=13
.(2分)
∴tanB=
CE
EB
=
5
12

∵CB切⊙O于点D,
∴OD⊥BC.
OD
BD
=
x
BD
=tanB=
5
12

∴BD=
12
5
x
.(4分)
∵S四边形AODC=S△ABC-S△BOD
y=
1
2
AB•CE
-
1
2
BD•OD
=
1
2
×17×5-
1
2
12
5
x•x
=-
6
5
x2+
85
2
;(6分)

(2)过点C作CF⊥CB交AB于F.
在Rt△BCF中,CF=BC•tanB=13×
5
12
=
65
12

∴x的取值范围是0<x≤
65
12
.(9分)
说明:答案为0<x<
65
12
不扣分;

(3)当⊙O与BC、AC都相切时,
设⊙O与AC的切点为G,连接OG、OC(如图②),则OG=OD=x.
∵S△AOC+S△BOC=S△ABC
1
2
•5


2
•x+
1
2
•13•x=
1
2
•17•5

x=
85
5


2
+13
=
5
7
(13-5


2
)
.(12分)
核心考点
试题【如图,在△ABC中,AB=17,AC=52,∠CAB=45°,点O在BA上移动,以O为圆心作⊙O,使⊙O与边BC相切,切点为D,设⊙O的半径为x,四边形AODC】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA,抛物线y=x2从点O沿OA方向平移,与直线x=2交于点P,顶点M到A点时停止移动.
请探索:是否存在这样的点M,使得线段PB最短;若存在,请求出此时点M的坐标.若不存在,请说明理由.
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已知二次函数的图象经过点A(0,-3),且顶点P的坐标为(1,-4),
(1)求这个函数的关系式;
(2)试问x为何值时,函数y的值大于0.
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二次函数y=ax2+bx+c(b、c为常数).
(1)若二次函数的图象经过A(-2,-3)和B(2,5)两点,求此二次函数的关系式;
(2)求此二次函数图象的顶点坐标及对称轴.
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某种商品在30天内每件销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系用如图所示的两条线段表示,该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的函数关系是Q=-t+40(0<t≤30,t是整数).
(1)求该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(2)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?(日销售金额=每件的销售价格×日销售量)
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如图是一座抛物线型拱桥,以桥基AB为x轴,AB的中垂线为y轴建立直角坐标系.已知桥基AB的跨度为60米,如果水位从AB处上升5米,就达到警戒线CD处,此时水面CD的宽为30


2
米,求抛物线的函数解析式.
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