题目

题型：不详难度：来源：

如图，四边形ABCO是矩形，点A（3，0），B（3，4），动点M、N分别从点O、B出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP∥OC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒，△MPA的面积为S．
（1）求点P的坐标．（用含x的代数式表示）
（2）写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）当△APM与△ACO相似时，求出点P的坐标．
（4）△PMA能否成为等腰三角形？如能，直接写出所有点P的坐标；如不能，说明理由．

答案

（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
过点A（3，0）、C（0，4），解得：
y=-

4

3

x+4，
N点坐标为（3-x，4），所以P点横坐标为：3-x，
代入直线解析式得纵坐标为

4

3

x，
所以P点坐标为：（3-x，

4

3

x）；

（2）AM边上的高为P点纵坐标，
所以有：h=

4

3

x，
M点坐标为（x，0），
AM=3-x，
所以有：S=

1

2

AM•h，
解得：S=-

2

3

x2+2x=-

2

3

(x-

3

2

)2+

3

2

，
解得S的最大值为

3

2

，

（3）由题目可知AO=3，AC=5，AM=3-x，AP=

5

3

x，
∵

AP

AM

=

AO

AC

∴

5 3 x

3-x

=

3

5

，解得：
x=

27

34

，即P点坐标为（

75

34

，

18

17

），
同理可得当

AM

AP

=

AO

AC

时，
P点坐标为（

3

2

，2）；
故有P点坐标为：P₁（

75

34

，

18

17

）、P₂（

3

2

，2）；

（4）△PMA能成为等腰三角形，
有三种情况：①AM=AP时，[3-（3-x）]²+(0-

4

3

x)2=（3-x）²，
解得：x₁=

9

8

，x₂=-

9

2

（舍去），
∴3-x=

15

8

，

4

3

x=

3

2

，
∴P的坐标是（

15

8

，

3

2

），
②AP=PM时，[3-（3-x）]²+(0-

4

3

x)2=[（3-x）-x]²+(

4

3

x-0)2，
解得：x₁=1，x₂=3（舍去），
∴3-x=2，

4

3

x=

4

3

，
∴P的坐标是（2，

2

3

），
③MP=MA时，[（3-x）-x]²+(

4

3

x-0)2=（3-x）²，
解得：x₁=0（舍去），x₂=

54

43

，
∴3-x=

75

43

，

4

3

x=

72

43

，
∴P的坐标是（

75

43

，

72

43

），
即P点的坐标分别为
P₁（2，

4

3

）、P₂（

15

8

，

3

2

）、P₃（

75

43

，

72

43

）．
答：△PMA能成为等腰三角形，此时P点的坐标分别为
P₁（2，

4

3

）、P₂（

15

8

，

3

2

）、P₃（

75

43

，

72

43

）．