题目

题型：不详难度：来源：

在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B=45°，AD=2，BC=6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上．
（1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式．
（2）求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径．
（3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED+EC+FD+FC最小时，EF的长．
（4）设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的△与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标；若不存在，则说明理由．

答案

（1）由题意知C（3，0）、A（0，3）．
如图1，过D作x轴垂线，由矩形性质得D（2，3）．
由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（-1，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．
将（0，3）代入得a=-1，所以y=-x²+2x+3．

（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点．
由等腰直角三角形性质得OM平分∠AOC，即y_OM=x，
∴M（1，1）．
连MC得MC=

5

，即半径为

5

．

（3）如图2，由对称性可知：当ED+EC+FD+FC最小时，E为对称轴与AC交点，F为BD与y轴交点，
∵∠B=45°，∠AOB=90°，
∴AO=BO=3，故B点坐标为：（-3，0），
再利用D（2，3），代入y=ax+b，得：

2a+b=3 -3a+b=0

，
解得：

a= 3 5 b= 9 5

，
故BD直线解析式为：y=

3

5

x+

9

5

，
当x=0，y=

9

5

，根据对称轴为直线x=1，则y=2，
故F（0，

9

5

）、E（1，2），
EF=

ET2+FT2

=

12+( 1 5 )2

=

26

5

．

（4）可得△ADC中，AD=2，AC=3

2

，DC=

10

．
假设存在，显然∠QCP＜90°，则∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD．
如图3，当∠QCP=45°时，OR=OC=3，
则R点坐标为（0，-3），将C，R代入y=ax+b得出：

b=-3 3a+b=0

，
解得：

a=1 b=-3

，
这时直线CP的解析式为y=x-3，同理可得另一解析式为：y=-x+3．
当直线CP的解析式为y=x-3时，
则x-3=-x²+2x+3，
解得：x₁=-2，x₂=3，
可求得P（-2，-5），
故PC=

52+52

=5

2

．
设CQ=x，则

2

3 2

=

x

5 2

或

2

3 2

=

5 2

x

，
解得：x=

10

3

或x=15．
∴Q（-

1

3

，0）或（-12，0）．
当y=-x+3即P与A重合时，CQ=y，则

AD

AC

=

QC

AC

，
即

2

3 2

=

y

3 2

，或

2

3 2

=

3 2

y

，
解得CQ=2或9，
故Q（1，0）或（-6，0）．
如图4，当∠QCP=∠ACD时，设CP交y轴于H，连接ED，则ED⊥AC，
∴DE=

2

，EC=2

2

，
易证：△CDE∽△CHQ，
所以

HO

2

=

3

2 2

，
∴HO=

3

2

．
可求HC的解析式为y=

1

2

x-

3

2

．
联解

y= 1 2 x- 3 2 y=-x2+2x+3

，
得P（-

3

2

，-

9

4

），PC=

9

4

5

．
设CQ=x，知

10

x

=

3 2

9 4 5

或

10

9 4 5

=

3 2

x

，
∴x=

15

4

或x=

27

4

，
∴Q（-

3

4

，0）或（-

15

4

，0）．
同理当H在y轴正半轴上时，HC的解析式为y=-

1

2

x+

3

2

．
∴P’（-

1

2

，

7

4

），
∴PC=

7

4

5

．
∴

10

CQ

=

3 2

7 4 5

或

10

7 4 5

=

3 2

CQ

，
∴CQ=

35

12

或

21

4

，所以Q（

1

12

，0）或（-

9

4

，0）．
综上所述，P₁（-2，-5）、Q₁（-

1

3

，0）或（-12，0）；P₂（0，3）、Q₂（1，0）或（-6，0）；P₃（-

3

2

，-

9

4

）、Q₃（-

3

4

，0）或（-

15

4

，0）；P₄（-

1

2

，

7

4

）、Q₄（

1

12

，0）或（-

9

4

，0）．