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题目
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如图,顶点为D的抛物线y=x2+bx-3与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,连接BC,已知△BOC是等腰三角形.
(1)求点B的坐标及抛物线y=x2+bx-3的解析式;
(2)求四边形ACDB的面积;
(3)若点E(x,y)是y轴右侧的抛物线上不同于点B的任意一点,设以A,B,C,E为顶点的四边形的面积为S.
①求S与x之间的函数关系式.
②若以A,B,C,E为顶点的四边形与四边形ACDB的面积相等,求点E的坐标.
答案
(1)B(3,0),
∴9+3b-3=0
∴b=-2
∴y=x2-2x-3

(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4
∴点D的坐标为(1,-4),对称轴为x=1
∴点A的坐标为(-1,0)
过点D作X轴的垂线,垂足为F
∴S△AOC=
3
2
,S△BDF=2×4÷2=4,S梯形OCDF=(3+4)×1÷2=3.5
∴四边形ACDB的面积为1.5+4+3.5=9.

(3)①当E在第四象限,S=-
3
2
x2+
9
2
x+6(0<x<3),
当E在第一象限,S=2x2-4x(x>3).
②存在.
当E在第四象限,S=-
3
2
x2+
9
2
x+6=9,
解得:x1=1,x2=2,
∴点E的坐标为(1,-4)或(2,-3);
当E在第一象限,S=2x2-4x=9,
解得:x1=1-
1
2


22
(舍去),x2=1+
1
2


22

∴点E的坐标为(1+
1
2


22
3
2
)

∴点E的坐标为(1,-4)或(2,-3)或(1+
1
2


22
3
2
)

核心考点
试题【如图,顶点为D的抛物线y=x2+bx-3与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,连接BC,已知△BOC是等腰三角形.(1)求点B的坐标及抛物线y=x2+bx-】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
计算机把数据存储在磁盘上,磁盘是带有磁性物质的圆盘,磁盘上有一些同心圆轨道叫做磁道.如图,现有一张半径为45mm,有
10
3
(45-r)条磁道的磁盘,这张磁盘最内磁道的半径为rmm.
(1)磁盘最内磁道上每0.015mm的弧长为1个存储单元,用r的代数式表示这条磁道有多少个存储单元?
(2)如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同,且磁盘的存储量是225000π个存储单元,求最内磁道的半径r是多少?
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如图,过A、C两点的抛物线y=x2+bx+c上有一点M,已知A(-1,0),C(0,-2),
(1)这个抛物线的解析式为______;
(2)作⊙M与直线AC相切,切点为C,则M点的坐标为______.
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如图,已知抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得△DCA的面积最大?若存在,求出点D的坐标及△DCA面积的最大值;若不存在,请说明理由.
(3)P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,用长为18m的篱笆(虚线部分),两面靠墙围成矩形的苗圃.
(1)设矩形的一边为x(m),面积为y(m2),求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当x为何值时,所围苗圃的面积最大,最大面积是多少?
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如图,在直角坐标系中,O是原点,A、B、C三点的坐标分别为A(18,0),B(18,6),C(8,6),四边形OABC是梯形,点P、Q同时从原点出发,分别做匀速运动,其中点P沿OA向终点A运动,速度为每秒1个单位,点Q沿OC、CB向终点B运动,当这两点有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动.
(1)求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式.
(2)试在(1)中的抛物线上找一点D,使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等,请直接写出点D的坐标.
(3)设从出发起,运动了t秒.如果点Q的速度为每秒2个单位,试写出点Q的坐标,并写出此时t的取值范围.
(4)设从出发起,运动了t秒.当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半,这时,直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分?如有可能,请求出t的值;如不可能,请说明理由.
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