题目
题型:不详难度:来源:
(1)试证明:无论点P运动到何处,PC总与PD相等;
(2)当点P运动到与点B的距离最小时,试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式;
(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点,当点P运动到何处时,△PDE的周长最小?求出此时点P的坐标和△PDE的周长;
(4)设点N是矩形OABC的对称中心,是否存在点P,使∠CPN=90°?若存在,请直接写出点P的坐标.
答案
∴OD=2,
∴OD=OC.
又∵OP是∠COD的角平分线,
∴∠POC=∠POD=45°,
∴△POC≌△POD,
∴PC=PD.
(2)过点B作∠AOC的平分线的垂线,垂足为P,点P即为所求.
易知点F的坐标为(2,2),故BF=2,作PM⊥BF,
∵△PBF是等腰直角三角形,
∴PM=
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∴点P的坐标为(3,3).
∵抛物线经过原点,
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx.
又∵抛物线经过点P(3,3)和点D(2,0),
∴有
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解得
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∴抛物线的解析式为y=x2-2x;
(3)由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点.
连接EC,它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点(因为PE+PD=EC,而两点之间线段最短),此时△PED的周长最小.
∵抛物线y=x2-2x的顶点E的坐标(1,-1),C点的坐标(0,2),
设CE所在直线的解析式为y=kx+b,
则有
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解得
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∴CE所在直线的解析式为y=-3x+2.
点P满足
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解得
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故点P的坐标为(
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△PED的周长即是CE+DE=
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(4)假设存在符合条件的P点.矩形的对称中心为对角线的交点,故N(2,1).
①当P点在N点上方时,由(2)知F(2,2),且∠NFC=90°,显然F点符合P点的要求,故P(2,2);
②当P点在N点下方时,设P(a,a),则:∵C(0,2),N(2,1),∴由勾股定理得,CP2+PN2=CN2,即a2+(a-2)2+(2-a)2+(1-a)2=5,即4a2-10a+4=0,解得a=
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综上可知:存在点P,使∠CPN=90度.其坐标是(
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核心考点
试题【如图,在矩形OABC中,已知A、C两点的坐标分别为A(4,0)、C(0,2),D为OA的中点.设点P是∠AOC平分线上的一个动点(不与点O重合).(1)试证明:】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)结合图象求y与x之间的函数关系;
(2)求“五味榨菜”礼盒的年获利w(万元)与x之间的函数关系,并求当售价为多少元时可以获得最大利润,最大利润是多少万元?
(3)去年,公司一直按照(2)中获得最大利润时的售价进行销售,今年在保持售价不变的基础上,公司发力品牌营销,决定拿出部分资金进行广告宣传.经调查发现:①每年有11万盒产品供给固定客户,其余产品全部被潜在客房购买;②若广告投入为a万元,则潜在客户的购买量将是去年购买量的m倍,则m=-
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(1)求抛物线的解析式.
(2)连接AB,平移AB所在的直线,使其经过原点O,得到直线l.点P是l上一动点,当△PAB的周长最小时,求点P的坐标.
(3)当△PAB的周长最小时,在直线AB的上方是否存在一点Q,使以A,B,Q为顶点的三角形与△POB相似?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.(规定:点Q的对应顶点不为点O)
(1)求当AD+CD最小时,点D的坐标;
(2)以点A为圆心,以AD为半径作⊙A
①证明:当AD+CD最小时,直线BD与⊙A相切.
②写出直线BD与⊙A相切时,D点的另一个坐标______.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求△ABC外接圆的半径及外心的坐标;
(3)若点P是第一象限内抛物线上一动点,求四边形ACPB的面积最大值.
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