当前位置:初中试题 > 数学试题 > 二次函数的应用 > 如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且AB=1,OB=3,矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到...
题目
题型:不详难度:来源:
如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且AB=1,OB=


3
,矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD.点A的对应点为点E,点B的对应点为点F,点C的对应点为点D,抛物线y=ax2+bx+c过点A,E,D.
(1)判断点E是否在y轴上,并说明理由;
(2)求抛物线的函数表达式;
(3)在x轴的上方是否存在点P,点Q,使以点O,B,P,Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍,且点P在抛物线上?若存在,请求出点P,点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)点E在y轴上
理由如下:
连接AO,如图所示,在Rt△ABO中,∵AB=1,BO=


3

∴AO=2∴sin∠AOB=
1
2
,∴∠AOB=30°
由题意可知:∠AOE=60°∴∠BOE=∠AOB+∠AOE=30°+60°=90°
∵点B在x轴上,∴点E在y轴上.

(2)过点D作DM⊥x轴于点M,
∵OD=1,∠DOM=30°
∴在Rt△DOM中,DM=
1
2
,OM=


3
2

∵点D在第一象限,
∴点D的坐标为(


3
2
1
2
)

由(1)知EO=AO=2,点E在y轴的正半轴上
∴点E的坐标为(0,2)
∴点A的坐标为(-


3
,1)
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点E,
∴c=2
由题意,将A(-


3
,1),D(


3
2
1
2
)代入y=ax2+bx+2中,





3a-


3
b+2=1
3
4
a+


3
2
b+2=
1
2

解得





a=-
8
9
b=-
5


3
9

∴所求抛物线表达式为:y=-
8
9
x2-
5


3
9
x+2

(3)存在符合条件的点P,点Q.
理由如下:∵矩形ABOC的面积=AB•BO=


3

∴以O,B,P,Q为顶点的平行四边形面积为2


3

由题意可知OB为此平行四边形一边,
又∵OB=


3

∴OB边上的高为2
依题意设点P的坐标为(m,2)
∵点P在抛物线y=-
8
9
x2-
5


3
9
x+2上
∴-
8
9
m2-
5


3
9
m+2=2
解得,m1=0,m2=-
5


3
8

∴P1(0,2),P2(-
5


3
8
,2)
∵以O,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,
∴PQOB,PQ=OB=


3

∴当点P1的坐标为(0,2)时,点Q的坐标分别为Q1(-


3
,2),Q2


3
,2);
当点P2的坐标为(-
5


3
8
,2)时,点Q的坐标分别为Q3(-
13


3
8
,2),Q4
3


3
8
,2).
核心考点
试题【如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且AB=1,OB=3,矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(其中b>0,c<0)的顶点P在x轴上,与y轴交于点Q,过坐标原点O,作OA⊥PQ,垂足为A,且OA=


2
,b+ac=3.
(1)求b的值;
(2)求抛物线的解析式.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,等腰直角三角形ABC的斜边AB所在的直线上有E,F两点,且∠E+∠F=45°,AE=3,设AB=x,BF=y,则y与x的函数关系式为______.
题型:不详难度:| 查看答案
如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足为B、D,且AD与BC相交于E点.已知:A(-2,-6),C(1,-3)
(1)求证:E点在y轴上;
(2)如果AB的位置不变,而DC水平向右移动K(K>0)个单位,此时AD与BC相交于E′点,如图②,求△AE′C的面积S关于K的函数解析式;
(3)过A、E、E′三点的抛物线中,是否存在一条抛物线,它的顶点在x轴上?若存在,请求出k的值;若不存在,说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(-1,0),B(5,0),与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P为线段AB上一点,连接PC.将线段PC绕点P顺时针旋转90°得到线段PF,连接BF.设点P的坐标为(t,0),△PBF的面积为S,求S与t的函数关系式,并求出当△PBF的面积最大时,点P的坐标及此时△PBF的最大面积;
(3)在(2)的条件下,点P在线段OB上移动的过程中,△PBF能否成为等腰三角形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,已知正方形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,抛物线y=-
2
3
x2+bx+c经过点A,B,交正x轴于点D,E是OC上的动点(不与C重合)连接EB,过B点作BF⊥BE交y轴与F
(1)求b,c的值及D点的坐标;
(2)求点E在OC上运动时,四边形OEBF的面积有怎样的规律性?并证明你的结论;
(3)连接EF,BD,设OE=m,△BEF与△BED的面积之差为S,问:当m为何值时S最小,并求出这个最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.