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题目
题型:不详难度:来源:
已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C,其顶点为D.
(1)求b、c的值并写出抛物线的对称轴;
(2)连接BC,过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E.求证:四边形ODBE是等腰梯形;
(3)抛物线上是否存在点Q,使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的
1
3
?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)分别把A(1,0)、B(3,0)两点坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组,
解之得:b=-4,c=3,
∴抛物线的对称轴为:直线x=2;

(2)证明:抛物线的解析式为y=x2-4x+3,
当x=0时,y=3
∴C点坐标为(0,3),
而y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴抛物线顶点D点坐标为(2,-1).
∴tan∠DOF=
1
2

设抛物线的对称轴DE交x轴于点F,
∴F点坐标为(2,0),连接OD,DB,BE.
∵△OBC是等腰直角三角形,OE⊥BC,
∴∠EOB=45°,而OF=2,EF⊥OB,
∴EF=2,
∴E点坐标为(2,2),
∴tan∠FBE=2,
∴∠DOF≠∠FBE,
∴DO与EB不平行.
而△DFB也是等腰直角三角形,
∴∠BOE=∠OBD=45°,
∴OEBD,
∴四边形ODBE是梯形.(5分)
在Rt△ODF和Rt△EBF中,
OD=


OF2+DF2
=


22+12
=


5
,BE=


EF2+FB2
=


22+12
=


5

∴OD=BE,
∴四边形ODBE是等腰梯形.(7分)

(3)存在.理由如下:(8分)
由题意得:S四边形ODBE=
1
2
OB•DE=
1
2
×3×3=
9
2
.(9分)
设点Q坐标为(x,y).
由题意得:S三角形OBQ=
1
2
OB•|y|=
3
2
|y|
,S四边形ODBE=
1
3
×
9
2
=
3
2

∴y=±1.
当y=1时,即x2-4x+3=1,
x1=2+


2
x2=2-


2

∴Q点坐标为(2+


2
,1)或(2-


2
,1)(11分)
当y=-1时,即x2-4x+3=-1,
∴x=2,
∴Q点坐标为(2,-1),即为顶点D.
综上所述,抛物线上存在三点Q1(2+


2
,1),Q2(2-


2
,1),Q3(2,-1).
使得S三角形OBQ=
1
3
S四边形ODBE.(12分)
核心考点
试题【已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C,其顶点为D.(1)求b、c的值并写出抛物线的对称轴;(2)连接BC,过点O作直】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
数学家们通过长期的研究,得到了关于“等周问题”的重要结论:在周长相同的所有封闭平面曲线中,以圆所围成的面积最大.
“等周问题”虽然较为繁杂,但其根本思想基于下面2个事实:
事实1:等周长n边形的面积,当图形为正n边形时,其面积最大;
事实2:等周长n边形的面积,当边数n越大时,其面积也越大.
为了理解这些事实的合理性,曙光数学小组走出校门展开了下列课题研究.请你帮助他们解决其中的一些问题.
现有长度为100m的篱笆(可弯曲围成一个区域).
(1)如果用篱笆围成一个长方形鸡场,怎样围才能使鸡场的面积最大?为什么?
(2)如果用篱笆围成一个正五边形鸡场,那么与(1)中的正方形鸡场比较,哪个面积更大?请在事实1的基础上证明事实2:“等周长n边形的面积,当边数n越大时,其面积也越大.”
(3)利用事实1和事实2,请对“等周问题”的重要结论作出较为合理的解释.
(4)爱动脑筋的小明提出一个问题:如果借用一条充分长的直墙,将篱笆围成一个四边形鸡场,为了使鸡场的面积尽量大,所围成的长方形鸡场的长是宽的2倍(如图).你觉得他讲的是否有道理?你有没有更好的方法,使围成的四边形鸡场的面积更大?如果有,请说明你的方法.
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在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-
1
2
x2+bx+c(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.
(1)如图,若该抛物线过A,B两点,求该抛物线的函数表达式;
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上滑动,且与AC交于另一点Q.
(i)若点M在直线AC下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点M的坐标;
(ii)取BC的中点N,连接NP,BQ.试探究
PQ
NP+BQ
是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由.
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如图,在直角坐标系中,OA=OC,AB=4,tan∠BCO=
1
5
,二次函数y=ax2+bx+c图象经过A、B、C三点.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求二次函数的解析式;
(3)求过点A、B和抛物线顶点D的圆的半径.
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如图,OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°,点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为(  )
A.-
2
3
B.-


2
3
C.-2D.-
1
2

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新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机,及时调整投资方向,瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影响,产品投产上市一年来,公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次).公司累积获得的利润y(万元)与销售时间第x(月)之间的函数关系式(即前x个月的利润总和y与x之间的关系)对应的点都在如图所示的图象上.该图象从左至右,依次是线段OA、曲线AB和曲线BC,其中曲线AB为抛物线的一部分,点A为该抛物线的顶点,曲线BC为另一抛物线y=-5x2+205x-1230的一部分,且点A,B,C的横坐标分别为4,10,12.
(1)求该公司累积获得的利润y(万元)与时间第x(月)之间的函数关系式;
(2)直接写出第x个月所获得S(万元)与时间x(月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程);
(3)前12个月中,第几个月该公司所获得的利润最多,最多利润是多少万元?
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