题目

题型：不详难度：来源：

如图1，抛物线y=-

2

3

x²+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），tan∠BAO=2，以线段BC为直径作⊙M交AB与点D，过点B作直线l∥AC，与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）求点C的坐标和线段EF的长；
（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由．

答案

（1）∵点A（2，0），tan∠BAO=2，
∴AO=2，BO=4，
∴点B的坐标为（0，4）．
∵抛物线y=-

2

3

x²+bx+c过点A，B，
∴

- 8 3 +2b+c=0 c=4

，
解得

b=- 2 3 c=4

，
∴此抛物线的解析式为y=-

2

3

x²-

2

3

x+4．

（2）∵抛物线对称轴为直线x=-

1

2

，
∴点A的对称点C的坐标为（-3，0），
点B的对称点E的坐标为（-1，4），
∵BC是⊙M的直径，
∴点M的坐标为（-

3

2

，2），
如图2，过点M作MG⊥FB，则GB=GF，
∵M（-

3

2

，2），
∴BG=

3

2

，
∴BF=2BG=3，
∵点E的坐标为（-1，4），
∴BE=1，
∴EF=BF-BE=3-1=2．

（3）四边形CDPQ的周长有最小值．
理由如下：∵BC=

OC2+OB2

=

32+42

=5，AC=CO+OA=3+2=5，
∴AC=BC，
∵BC为⊙M直径，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，
∴D为AB中点，
∴点D的坐标为（1，2）．
作点D关于直线l的对称点D₁（1，6），点C向右平移2个单位得到C₁（-1，0），连接C₁D₁与直线l交于点P，点P向左平移2个单位得到点Q，四边形CDPQ即为周长最小的四边形．
设直线C₁D₁的函数表达式为y=mx+n（m≠0），
∴

-m+n=0 m+n=6

，

m=3 n=3

，
∴直线C₁D₁的表达式为y=3x+3，
∵y_p=4，
∴x_p=

1

3

，
∴点P的坐标为（

1

3

，4）；
C_{四边形CDPQ最小}=2

5

+2

10

+2．