题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点M是抛物线上一点,以B,C,D,M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标.
答案
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a≠0),
根据题意,得
|
解得
|
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)存在.
由y=-x2+2x+3得,D点坐标为(1,4),对称轴为x=1.
①若以CD为底边,则PD=PC,
设P点坐标为(x,y),根据两点间距离公式,
得x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2,
即y=4-x.
又P点(x,y)在抛物线上,
∴4-x=-x2+2x+3,
即x2-3x+1=0,
解得x1=
3+
| ||
2 |
3-
| ||
2 |
∴x=
3+
| ||
2 |
∴y=4-x=
5-
| ||
2 |
即点P坐标为(
3+
| ||
2 |
5-
| ||
2 |
②若以CD为一腰,
∵点P在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称,
此时点P坐标为(2,3).
∴符合条件的点P坐标为(
3+
| ||
2 |
5-
| ||
2 |
(3)由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾股定理,
得CB=3
2 |
2 |
5 |
∴CB2+CD2=BD2=20,
∴∠BCD=90°,
设对称轴交x轴于点E,过C作CM⊥DE,交抛物线于点M,垂足为F,在Rt△DCF中,
∵CF=DF=1,
∴∠CDF=45°,
由抛物线对称性可知,∠CDM=2×45°=90°,点坐标M为(2,3),
∴DM∥BC,
∴四边形BCDM为直角梯形,
由∠BCD=90°及题意可知,
以BC为一底时,顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底,且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在.
综上所述,符合条件的点M的坐标为(2,3).
核心考点
试题【如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值;
(3)如图2,过点E(1,-1)作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ(点M,N,Q分别与点A,E,F对应),使点M,N在抛物线上,求点M,N的坐标.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)试写出该公司销售该种产品的年获利z(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式(年获利=年销售额一年销售产品总进价一年总开支).当销售单价x为何值时,年获利最大并求这个最大值;
(3)若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元,借助(2)中函数的图象,请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下,要使产品销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?