题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知：关于x的一元二次方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0①
（1）求证：方程①有两个实数根；
（2）若m-n-1=0，求证方程①有一个实数根为1；
（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a，当x=2时，关于m的函数y₁=nx+am与y₂=x²+a（n-2m）x+m²-mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线l与y₁、y₂的图象分别交于点C、D，当l沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值。

答案

解：（1）证明：△=（n-2m）²-4（m²-mn）=n²
∵n²≥0
∴△≥0
∴方程①有两个实数根；（2）由m-n-1=0，得m-n=1，
当x=1时，等号左边=1+n-2m+m²-mn=1+n-2m+m（m-n）=1+n-2m+m=1+n-m=0
等号右边=0
∴左边=右边
∴x=1是方程①的一个实数根；（3）由求根公式，得x=，x=m或x=m-n
∵m-n-1=0，
∴m-n=1，n=m-1，
∴a=m
当x=2时，y₁=2n+m²=2（m-1）+m²=m²+2m-2，
y₂=2²+2m（n-m-m）+m（m-n）=4+2m（-1-m）+m=-2m²-m+4
如图，当l沿AB由点A平移到点B时，CD=y₂-y₁=-3m²-3m+6=-3（m+）²+
由y₁=y₂，得m²+2m-2=-2m²-m+4，解得m=-2或m=1
∴m_A=-2，m_B=1
∵-2<-<1，
∴当m=-时，CD取得最大值。