题目

题型：北京模拟题难度：来源：

关于x的一元二次方程x²-4x+c=0有实数根，且c为正整数。
（1）求c的值；
（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-4x+c与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；
（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围。

答案

解：（1）关于x的一元二次方程x²-4x+c=0有实数根，
∴△=16-4c≥0，
∴c≤4，
又∵c为正整数，
∴c=1，2，3，4；
（2）∵方程两根均为整数，
∴c=3，4，
又∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴c=3，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵四边形OBPC为直角梯形，且∠COB=90°，
∴PC// BO，
∵P点在对称轴上，
∴PC=2；
（3）-2＜m≤0或2＜m≤4。