题目

题型：广西自治区中考真题难度：来源：

在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）。

（1）求这个抛物线的解析式；
（2）在x轴上方平行于x轴的一条直线交抛物线于M，N两点，以MN为直径作圆与x轴相切，求此圆的直径；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到B，C两点间的距离之差最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设抛物线的解析式为：
把代入得：
解得
抛物线的解析式为，即。
（2）设圆的半径为r，依题意有M（1-r，r），N（1+r，r）
把M的坐标代入
整理，得
解得（舍去）
所求圆的直径为。
（3）存在
∵由对称性可知，A点的坐标为
∵C点坐标为（0，-3），
∴直线AC的解析式为y=-3x-3
∵P点在对称轴上，
设P点坐标为（1，y）
代入y=-3x-3，求得P点坐标为（1，-6）。