题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线y=x²+px+q上有一点M（x₀，y₀）位于x轴的下方．
（1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点A（x₁，0），B（x₂，0），其中x₁＜x₂；
（2）求证：x₁＜x₀＜x₂；
（3）当点M为（1，-1999）时，求整数x₁，x₂．

答案

（1）函数y=x²+px+q可化为y=（x+

p

2

）²+q-

p2

4

，
将M（x₀，y₀）代入得，y₀=（x₀+

p

2

）²+q-

p2

4

＜0，
∵y₀＜0，
∴q-

p2

4

＜0，即p²＞4q，
∵△=p²-4q，
∴△＞0，
∴抛物线必与x轴有两个不同的交点；

（2）设y=（x-x₁）（x-x₂），将x₀代入，则y₀=（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，
∴（x₀-x₁）＞0且（x₀-x₂）＜0，或（x₀-x₁）＜0且（x₀-x₂）＞0，
∵x₁＜x₂，只能是前一种情况，
∴x₁＜x₀＜x₂；

（3）∵x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，
∴M点代入方程，p和q用x₁和x₂代换整理得，
x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=-1999，即（x₁-1）（x₂-1）=-1999，
又∵x₁和x₂是整数及x₁＜x₂，
∴x₁=-1998，x₂=2，或x₁=0，x₂=2000．