题目
题型:不详难度:来源:
如图所示,抛物线与x轴交于A、B两点,直线BD的函数表达式为,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E.
⑴求A、B、C三个点的坐标.
⑵点P为线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M,以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N,分别连接AN、BM、MN.
①求证:AN=BM.
②在点P运动的过程中,四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值?并求出该最大值或最小值.
答案
(1)A(-1,0),B(3,0) C(1,2)
(2)①AN=BM,证明略。
②m=2时,S取得最小值3
解析
解得:,
∴A(-1,0),B(3,0) 2分
∵=,
∴抛物线的对称轴为直线x=1,
将x=1代入,得y=2,
∴C(1,2). 3分
⑵①在Rt△ACE中,tan∠CAE=,
∴∠CAE=60º,
由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线,
∴AC=BC,
∴△ABC为等边三角形, 4分
∴AB=" BC" ="AC" = 4,∠ABC=∠ACB= 60º,
又∵AM=AP,BN=BP,
∴BN = CM,
∴△ABN≌△BCM,
∴AN="BM. " 5分
②四边形AMNB的面积有最小值. 6分
设AP=m,四边形AMNB的面积为S,
由①可知AB=" BC=" 4,BN = CM=BP,S△ABC=×42=,
∴CM="BN=" BP=4-m,CN=m,
过M作MF⊥BC,垂足为F,
则MF=MC•sin60º=,
∴S△CMN==•=, 7分
∴S=S△ABC-S△CMN
=-()
= 8分
∴m=2时,S取得最小值3. 9分
核心考点
试题【(本小题满分9分)如图所示,抛物线与x轴交于A、B两点,直线BD的函数表达式为,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E.⑴求A、B、C三个点的坐标.】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.(0,-2) | B.(1,-24) | C.(0,-48) | D.(2,48) |
A.向上移动3单位 | B.向下移动3单位 | C.向上移勤6单位 | D.向下移动6单位 |
(1)证明:①S△CMD∶S梯形ABMC=2∶3
②xC·xD=-yH
(2)若将上述A点坐标(1,0)改为A点坐标(t,0),t>0,其他条件不变,结论S△CMD:S梯形ABMC=2∶3是否仍成立?请说明理由。
(3)若A的坐标(t,0)(t>0),又将条件y=x2改为y=ax2(a>0),其他条件不变,那么XC、XD和yH又有怎样的数量关系?写出关系式,并证明。
如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧). 已知点坐标为(,).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点作线段的垂线交抛物线于点, 如果以点为圆心的圆与直线相切,请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间,问:当点
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.
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