题目

题型：不详难度：来源：

（12分）
在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点.

（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）

答案

（1）
（2）存在 这样的点P共有4个：，，，

解析

解：（1）设抛物线的解析式为：
由题意得：                           ……………1分
解得：                       ……………2分
∴抛物线的解析式为：                  ……………3分
（2）存在                                             ………………4分

抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图），
设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C
连接MC，过C作CD⊥x 轴于D
∵MC =" OM" =" 2,"  ∠CBM =" 30°, " CM⊥BC
∴∠BCM =" 90°" ，∠BMC =" 60°" ，BM =" 2CM" =" 4" ,  ∴B (-2, 0)                  
在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30°
∴DM =" 1,  " CD = =        ∴   C (1, )
设切线 l 的解析式为:，点B、C在 l 上，可得：
        解得： 
∴切线BC的解析式为：
∵点P为抛物线与切线的交点
由        解得：        
∴点P的坐标为：，                    …………8分
∵ 抛物线的对称轴是直线
此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形
于是作切线 l 关于直线的对称直线 l′(如图)
得到B、C关于直线的对称点B1、C1
l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点：
 ，即为所求的点.
∴这样的点P共有4个：，，， ……12分
（本题其它解法参照此标准给分）