题目

题型：不详难度：来源：

（2011•攀枝花）如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）在抛物线上有一点A，其横坐标为﹣2，直线l过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是点B，点B的横坐标满足﹣2＜x_B＜，当△AOB的面积最大时，求出此时直线l的关系式；
（3）抛物线上是否存在点C使△AOC的面积与（2）中△AOB的最大面积相等．若存在，求出点C的横坐标；若不存在说明理由．

答案

解：（1）二次函数y=x²+bx+c图象的对称轴是直线x=1，且过点A（﹣1，0），
代入得：﹣=1，1﹣b+c=0，
解得：b=﹣2，c=﹣3，
所以二次函数的关系式为：y=x²﹣2x﹣3；
（2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，），
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y=x﹣．
∵P为线段AB上的一个动点，
∴P点坐标为（x，x﹣）．（0＜x＜3）
由题意可知PE∥y轴，∴E点坐标为（x，x²﹣x﹣），
∵0＜x＜3，
∴PE=（x﹣）﹣（x²﹣x﹣）=﹣x²+x，
（3）由题意可知D点横坐标为x=1，又D点在直线AB上，
∴D点坐标（1，﹣1）．

①当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP，
∴．
过点D作DQ⊥PE于Q，
∴x_Q=x_P=x，y_Q=﹣1，
∴△DQP∽△AOB∽△EDP，
∴，
又OA=3，OB=，AB=，
又DQ=x﹣1，
∴DP=（x﹣1），
∴，
解得：x=﹣1±（负值舍去）．
∴P（﹣1，）（如图中的P₁点）；
②当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP，
∴．
由（2）PE=﹣x²+x，DE=x﹣1，
∴，
解得：x=1±，（负值舍去）．
∴P（1+，﹣1）（如图中的P₂点）；
综上所述，P点坐标为（﹣1，）或（1+，﹣1）．

解析

略