题目

题型：不详难度：来源：

如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴相交于点B(－0，0)和C，O为坐标原点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线y＝x²＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物
线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．

答案

解：（1）将A（0，－4）、B（－2，0）代入抛物线y=x²+bx+c中，得：
，解得，。
∴抛物线的解析式：y=x²－x－4。
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：，
即：。它的顶点坐标P（1－m，－1）。
由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）。
∴直线AB：y=－2x-4；直线AC：y=x－4。
当点P在直线AB上时，－2（1－m）－4=－1，解得：m=；
当点P在直线AC上时，（1－m）＋4=－1，解得：m=－2；
又∵m＞0，
∴当点P在△ABC内时，0＜m＜ 。
（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形。
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°。

∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，
即∠ONB=∠OMB。
如图，在△ABN、△AM₁B中，
∠BAN=∠M₁AB，∠ABN=∠AM₁B，
∴△ABN∽△AM₁B，得：AB²=AN•AM₁；
由勾股定理，得AB²=（－2）²+4²=20，
又AN=OA－ON=4－2=2，
∴AM₁=20÷2=10，OM₁=AM₁－OA=10－4=6。
而∠BM₁A=∠BM₂A=∠ABN，∴OM₁=OM₂=6，AM₂=OM₂－OA=6－4=2。
综上，AM的长为6或2。

解析

二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解。
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其
代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围。
（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长。