题目

题型：不详难度：来源：

已知：抛物线（a≠0）的顶点M的坐标为（1,－2）与y轴交于点C（0，），与x轴交于A、B两点（A在B的左边）.

（1）求此抛物线的表达式；
（2）点P是线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段BM上移动且∠MPQ＝45°，设线段OP＝x，MQ＝₁，求y₁与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①在（2）的条件下是否存在点P，使△PQB是PB为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理由；
②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BMF是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标.

答案

（1）（2）（0≤x＜3）（3）①存在，Q的坐标为（2，1）②F₁（1，0），F₂（1，），F₃（1，），F₄（1，2）.

解析

解：（1）∵抛物线的顶点为M（1，﹣2）可设，
由点（0，）得：
∴.
∴即.     ……………………3分
（2）在中由y＝0得

解得：，
∴A为（－1，0），B为（3，0）                ……………………4分
∵M（1，－2）
∴∠MBO＝45°，MB＝
∴∠MPQ＝45°
∠MBO＝∠MPQ
又∵∠M＝∠M
∴△MPQ∽△MPB                             ……………………5分
∴
∴
即
∴（0≤x＜3）.  
…………………………7分（自变量取值范围1分）
（3）①存在点Q，使QP＝QB，即△PQB是以PB为底的等腰三角形，作PB的垂直平分线交BM于Q，则QP＝QB.
∴∠QPB＝∠MBP＝45°
又∵∠MPQ＝45°，
∴此时MP⊥x轴
∴P为（1，0），     
∴PB＝2.
∴Q的坐标为（2，1）.                …………………………9分
②F₁（1，0），F₂（1，），F₃（1，），F₄（1，2）.
………………………………11分
（1）设抛物线的表达式为y=a（x-1）²-2，将点C的坐标代入即可得出答案；
（2）先证明△MPQ∽△MPB，根据相似的性质列等式，求y₁与x的函数关系式；
（3）①假设存在满足条件的P点，根据条件△PQB是PB为底的等腰三角形，作PB的垂直平分线交BM于Q，QP=QB．求出P点和Q点坐标；②根据△BMF是等腰三角形，只要点F使得该三角形的两边相等即可．