题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知点A(−3，5)在抛物线y=x²+c的图象上，点P从抛物线的顶点Q出发，沿y轴以
每秒1个单位的速度向正方向运动，连结AP并延长，交抛物线于点B，分别过点A、B作x轴的垂线，垂
足为C、D，连结AQ、BQ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当A、Q、B三点构成以AQ为直角边的直角三角形时，求点P离开点Q多少时间？
(3)试探索当AP、AC、BP、BD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）时，点P离开点Q的时刻．

答案

（1）把A（−3，5）代入得：5=´9+c，
∴c=．
（2）①若AQ⊥BQ，过点Q作MN⊥y轴，

可证△AMQ∽△QNB．
∵AM=AC−MC=，MQ=3，
∴．
设B（3k，2k+），
代入抛物线解析式得：k=，即B（，）．
∴直线AB的解析式为：．
∴OP=，∴PQ=2．
②若AQ⊥AB，

∵AC∥PQ，可证△AMQ∽△QAP，
又由勾股定理得AQ=．
∴PQ=．
∴对应的时刻t为：2或．
（3）①若AC=BD，AP=BP，
此时点A与点B关于y轴对称，
∴OP=AC=5，
∴PQ=4．
②若AC=AP，
设P（0，y），则：9+(y−5)²=25，
解之得，y=1，即OP=1．
∴PQ=．
此时，直线AP解析式为：．
与抛物线的交点B为（，），
∴PB==BD．
∴满足条件的时刻为：和4．

解析

（1）把A点坐标代入就得到抛物线的解析式；
（2）分AQ⊥BQ, AQ⊥AB两种情况进行讨论；
（3）分AC=BD、AC=AP两种情况进行讨论。