题目

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E.
⑴求经过点D、B、E的抛物线的解析式；
⑵将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交⑴中的抛
物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=DG能成立吗？请说明理由.
⑶过⑵中的点F的直线交射线CB于点P，交⑴中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE为等腰三角形，求Q点的坐标.

答案

解：（1）∵BE⊥DB交x轴于点E，OABC是正方形，∴∠DBC=EBA。
在△BCD与△BAE中，∵∠BCD=∠BAE=90°， BC="BA" ，∠DBC=∠EBA ，
∴△BCD≌△BAE（ASA）。∴AE=CD。
∵OABC是正方形，OA=4，D是OC的中点，
∴A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），∴E（6，0）．
设过点D（0，2），B（4，4），E（6，0）的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，则有：
，解得 。
∴经过点D、B、E的抛物线的解析式为：。
（2）结论OF=DG能成立．理由如下：
由题意，当∠DBE绕点B旋转一定的角度后，同理可证得△BCG≌△BAF，∴AF=CG。
∵x_M=，∴。∴M（）。
设直线MB的解析式为y_MB=kx+b，
∵M（），B（4，4），
∴，解得。
∴y_MB=x+6。∴G（0，6）。
∴CG=2，DG=4。∴AF=CG=2，OF=OA﹣AF=2，F（2，0）。
∵OF=2，DG=4，∴结论OF=DG成立。
（3）如图，△PFE为等腰三角形，可能有三种情况，分类讨论如下：

①若PF=FE。
∵FE=4，BC与OA平行线之间距离为4，
∴此时P点位于射线CB上。
∵F（2，0），∴P（2，4）。
此时直线FP⊥x轴。来]∴x_Q=2。
∴，
∴Q₁（2，）。
②若PF=PE。
如图所示，∵AF=AE=2，BA⊥FE，∴△BEF为等腰三角形。
∴此时点P、Q与点B重合。∴Q₂（4，4）。
③若PE=EF。
∵FE=4，BC与OA平行线之间距离为4，∴此时P点位于射线CB上。
∵E（6，0），∴P（6，4）。
设直线y_PF的解析式为y_PF=kx+b，∵F（2，0），P（6，4），
∴，解得。∴y_PF=x﹣2。
∵Q点既在直线PF上，也在抛物线上，
∴，化简得5x²﹣14x﹣48=0，
解得x₁= ，x₂=﹣2（不合题意，舍去）。∴x_Q=2。
∴y_Q=x_Q﹣2=。∴Q₃（）。
综上所述，Q点的坐标为Q₁（2，）或Q₂（4，4）或Q₃（）。

解析

（1）由正方形的性质和△BCD≌△BAE求得E点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式。
（2）求出M点坐标，然后利用待定系数法求直线MB的解析式，令x=0，求得G点坐标，从而得到线段CG、DG的长度；由△BCG≌△BAF，可得AF=CG，从而求得OF的长度．比较OF与DG的长度，它们满足OF=DG的关系，所以结论成立；
（3）分PF=FE、PF=PE和PE=EF三种情况，逐一讨论并求解。