题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA₁B₁；再将△OA₁B₁绕着线段OB₁的中点旋转180°，得到△OA₂B₁，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B、B₁、A₂．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB₁的面积最大？求出这时点P的坐标．
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB₁的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）（2）P（﹣2，）（3）存在，（﹣1，﹣4）或（﹣3，﹣2）

解析

解：（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=，∴OB=4。
∴B（﹣4，0），B₁（0，﹣4），A₂（3，0）。
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B、B₁、A₂，
∴，解得。
∴抛物线的解析式为：。
（2）点P是第三象限内抛物线上的一点，
如图，过点P作PC⊥x轴于点C．

设点P的坐标为（m，n），
则m＜0，n＜0，。
∴PC=|n|=﹣，OC=|m|=﹣m，
BC=OB﹣OC=|﹣4|﹣|m|=4+m。
∴

∴当m=﹣2时，△PBB₁的面积最大，这时，n=，即点P（﹣2，）。
（3）存在。
假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x₀，y₀），使点Q到线段BB₁的距离为。
如图，过点Q作QD⊥BB₁于点D，设Q（x_Q，y_Q），

由（2）可知，此时△QBB₁的面积可以表示为：
，
在Rt△OBB₁中，。
∵，
∴，解得x_Q=﹣1或x_Q=﹣3。
当x_Q=﹣1时，y_Q=﹣4；当x_Q=﹣3时，y_Q=﹣2。
因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB₁的距离为，这样的点Q的坐标是（﹣1，﹣4）或（﹣3，﹣2）。
（1）根据旋转的性质确定点B、B₁、A₂三点的坐标，利用待定系数法求得抛物线的解析式。
（2）求出△PBB₁的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出△PBB₁面积的最大值。
（3）引用（2）问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出△QBB₁的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标。