题目
题型:不详难度:来源:
(1)当k=1,m=0,1时,求AB的长;
(2)当k=1,m为任何值时,猜想AB的长是否不变?并证明你的猜想.
(3)当m=0,无论k为何值时,猜想△AOB的形状.证明你的猜想.
(平面内两点间的距离公式).
答案
(2)猜想:当k=1,m为任何值时,AB的长不变,即AB=。理由见解析。
(3)当m=0,k为任意常数时,△AOB为直角三角形,理由见解析。
解析
分析:(1)先将k=1,m=0分别代入,得出二次函数的解析式为y=x2,直线的解析式为y=x+1,联立,得x2﹣x﹣1=0,根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=1,x1•x2=﹣1,过点A、B分别作x轴、y轴的平行线,两线交于点C,证明△ABC是等腰直角三角形,根据勾股定理得出,根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB=;同理,当k=1,m=1时,AB=。
(2)当k=1,m为任何值时,联立,得x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣1=0,根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2m+1,x1•x2=m2+m﹣1,同(1)可求出AB=;
(3)当m=0,k为任意常数时,联立,得x2﹣kx﹣1=0,根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=k,x1•x2=﹣1,根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB2=k4+5k2+4,OA2+OB2═k4+5k2+4,由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形。
解:(1)当k=1,m=0时,如图,
由得x2﹣x﹣1=0,
∴x1+x2=1,x1•x2=﹣1,
过点A、B分别作x轴、y轴的平行线,两线交于点C,
∵直线AB的解析式为y=x+1,
∴∠BAC=45°,△ABC是等腰直角三角形。
∴ 。
同理,当k=1,m=1时,AB=。
(2)猜想:当k=1,m为任何值时,AB的长不变,即AB=。理由如下:
由,得x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣1=0,
∴x1+x2=2m+1,x1•x2=m2+m﹣1。
∴。
(3)当m=0,k为任意常数时,△AOB为直角三角形,理由如下:
由,得x2﹣kx﹣1=0,
∴x1+x2=k,x1•x2=﹣1。
∴AB2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2=(x1﹣x2)2+(kx1﹣kx2)2=(1+k2)(x1﹣x2)2
=(1+k2)[(x1+x2)2﹣4x1•x2]=(1+k2)(4+k2)=k4+5k2+4。
又∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+(kx1+1)2+(kx2+1)2
=x12+x22+(k2x12+2kx1+1)+(k2x22+2kx2+1)=(1+k2)(x12+x22)+2k(x1+x2)+2
=(1+k2)(k2+2)+2k•k+2=k4+5k2+4,
∴AB2=OA2+OB2。
∴△AOB为直角三角形。
核心考点
试题【已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2);(x1<x2)(1)当k=1,m】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.5个 | B.4个 | C.3个 | D.2个 |
(1)求D点的坐标;
(2)如图1,连接AC,BD并延长交于点E,求∠E的度数;
(3)如图2,已知点P(﹣4,0),点Q在x轴下方的抛物线上,直线PQ交线段AC于点M,当∠PMA=∠E时,求点Q的坐标.
(1)求出该抛物线的解析式.
(2)如图1,将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处,两直角边恰好分别经过点O和C.现在利用图2进行如下探究:
①将三角板从图1中的位置开始,绕点P顺时针旋转,两直角边分别交OA、OC于点E、F,当点E和点A重合时停止旋转.请你观察、猜想,在这个过程中,的值是否发生变化?若发生变化,说明理由;若不发生变化,求出的值.
②设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为D,顶点为M,在①的旋转过程中,是否存在点F,使△DMF为等腰三角形?若不存在,请说明理由.
给出下列命题:
①abc<0;②b>2a;③a+b+c=0
④ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1;
⑤8a+c>0.其中正确的命题是 .
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