题目
题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,已知点坐标为(2,4),直线x=2与轴相交于点,连结,抛物线y=x从点沿方向平移,与直线x=2交于点,顶点到点时停止移动.
(1)求线段所在直线的函数解析式;
(2)设抛物线顶点的横坐标为,
①用的代数式表示点的坐标;
②当为何值时,线段最短;
(3)当线段最短时,相应的抛物线上是否存在点,使△的面积与△的面积相等,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求线段所在直线的函数解析式;
(2)设抛物线顶点的横坐标为,
①用的代数式表示点的坐标;
②当为何值时,线段最短;
(3)当线段最短时,相应的抛物线上是否存在点,使△的面积与△的面积相等,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)OA所在直线的函数解析式为y=2x;
(2)①点P的坐标是(2,m2﹣2m+4);②当m=1时,PB最短;
(3)抛物线上存在点,Q1(2+,5+2),Q2(2﹣,5﹣2),Q3(2,3),使△QMA与△PMA的面积相等,理由见解析.
(2)①点P的坐标是(2,m2﹣2m+4);②当m=1时,PB最短;
(3)抛物线上存在点,Q1(2+,5+2),Q2(2﹣,5﹣2),Q3(2,3),使△QMA与△PMA的面积相等,理由见解析.
解析
试题分析:(1)根据A点的坐标,用待定系数法即可求出直线OA的解析式;
(2)①由于M点在直线OA上,可根据直线OA的解析式来表示出M点的坐标,因为M点是平移后抛物线的顶点,因此可用顶点式二次函数通式来设出这个二次函数的解析式,P的横坐标为2,将其代入抛物线的解析式中即可得出P点的坐标;
②PB的长,实际就是P点的纵坐标,因此可根据其纵坐标的表达式来求出PB最短时,对应的m的值;
(3)根据(2)中确定的m值可知:M、P点的坐标都已确定,因此AM的长为定值,若要使△QMA的面积与△PMA的面积相等,那么Q点到AM的距离和P到AM的距离应该相等,因此可分两种情况进行讨论:
①当Q在直线OA下方时,可过P作直线OA的平行线交y轴于C,那么平行线上的点到OA的距离可相等,因此Q点必落在直线PC上,可先求出直线PC的解析式,然后利用抛物线的解析式,看得出的方程是否有解,如果没有则说明不存在这样的Q点,如果有解,得出的x的值就是Q点的横坐标,可将其代入抛物线的解析式中得出Q点的坐标;
②当Q在直线OA上方时,同①类似,可先找出P关于A点的对称点D,过D作直线OA的平行线交y轴于E,那么直线DE上的点到AM的距离都等于点P到AM上的距离,然后按①的方法进行求解即可.
试题解析:(1)设OA所在直线的函数解析式为y=kx,
∵A(2,4),
∴2k=4,
∴k=2,
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x;
(2)①∵顶点M的横坐标为m,且在线段OA上移动,
∴y=2m(0≤m≤2).
∴顶点M的坐标为(m,2m).
∴抛物线函数解析式为y=(x﹣m)2+2m.
∴当x=2时,y=(2﹣m)2+2m=m2﹣2m+4(0≤m≤2).
∴点P的坐标是(2,m2﹣2m+4);
②∵PB=m2﹣2m+4=(m﹣1)2+3,
又∵0≤m≤2,
∴当m=1时,PB最短;
(3)当线段PB最短时,此时抛物线的解析式为y=(x﹣1)2+2
即y=x2﹣2x+3.
假设在抛物线上存在点Q,使S△QMA=S△PMA.
设点Q的坐标为(x,x2﹣2x+3).
①点Q落在直线OA的下方时,过P作直线PC∥AO,交y轴于点C,
∵PB=3,AB=4,
∴AP=1,
∴OC=1,
∴C点的坐标是(0,﹣1).
∵点P的坐标是(2,3),
∴直线PC的函数解析式为y=2x﹣1.
∵S△QMA=S△PMA,
∴点Q落在直线y=2x﹣1上.
∴x2﹣2x+3=2x﹣1.
解得x1=2,x2=2,
即点Q(2,3).
∴点Q与点P重合.
∴此时抛物线上存在点Q(2,3),使△QMA与△APM的面积相等.
②当点Q落在直线OA的上方时,
作点P关于点A的对称称点D,过D作直线DE∥AO,交y轴于点E,
∵AP=1,
∴EO=DA=1,
∴E、D的坐标分别是(0,1),(2,5),
∴直线DE函数解析式为y=2x+1.
∵S△QMA=S△PMA,
∴点Q落在直线y=2x+1上.
∴x2﹣2x+3=2x+1.
解得:x1=2+,x2=2﹣.
代入y=2x+1得:y1=5+2,y2=5﹣2.
∴此时抛物线上存在点Q1(2+,5+2),Q2(2﹣,5﹣2)
使△QMA与△PMA的面积相等.
综上所述,抛物线上存在点,Q1(2+,5+2),Q2(2﹣,5﹣2),Q3(2,3),使△QMA与△PMA的面积相等.
.
考点:二次函数综合题.
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,已知点坐标为(2,4),直线x=2与轴相交于点,连结,抛物线y=x从点沿方向平移,与直线x=2交于点,顶点到点时停止移动.(1)求线段】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
对于抛物线y=(x+1)2+3,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1;③顶点坐标为(﹣1,3);④x>﹣1时,y随x的增大而减小,其中正确结论的个数为( )
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
抛物线的最小值是 .
为了改善市民的生活环境,我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在Rt△内修建矩形水池,使顶点、在斜边上,、分别在直角边、上;又分别以、、为直径作半圆,它们交出两弯新月(图中阴影部分),两弯新月部分栽植花草;其余空地铺设地砖.其中,.设米,米.
(1)求与之间的函数解析式;
(2)当为何值时,矩形的面积最大?最大面积是多少?
(3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积,并求当为何值时,矩形的面积等于两弯新月面积的?
(1)求与之间的函数解析式;
(2)当为何值时,矩形的面积最大?最大面积是多少?
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