题目

题型：竞赛题难度：来源：

如图1，已知直线y=﹣x+m与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A、B两点（点A在点B的左侧），分别与x、y轴交于点C、D，AE⊥x轴于E．
（1）若OE·CE=12，求k的值．
（2）如图2，作BF⊥y轴于F，求证：EF∥CD．
（3）在（1）（2）的条件下，EF=，AB=2，P是x轴正半轴上的一点，且△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求P点的坐标．

答案

（1）解：设OE=a，则A（a，﹣a+m），
∵点A在反比例函数图象上，
∴a（﹣a+m）=k，即k=﹣a²+am，
由一次函数解析式可得C（2m，0），
∴CE=2m﹣a，
∴OE·CE=a（2m﹣a）=﹣a²+2am=12，
∴k=（﹣a²+2am）=×12=6；
（2）证明：连接AF、BE，
过E、F分别作FM⊥AB，EN⊥AB，
∴FM∥EN，
∵AE⊥x轴，BF⊥y轴，
∴AE⊥BF，
S_△AEF=AE·OE=，
S_△BEF=BF·OF=，
∴S_△AEF=S_△BEF，
∴FM=EN，
∴四边形EFMN是矩形，
∴EF∥CD；
（3）解：由（2）可知，EF=AD=BC=，
∴CD=4，
由直线解析式可得OD=m，OC=2m，
∴OD=4，又EF∥CD，
∴OE=2OF，
∴OF=1，0E=2，
∴DF=3，
∴AE=DF=3，
∵AB=2，
∴AP=，
∴EP=1，
∴P（3，0）．