题目

题型：河北省期中题难度：来源：

如图，已知C、D是双曲线y=在第一象线内的分支的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点，设C、D的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂）连结OC、OD．
（1）求证：y₁＜OC＜；
（2）若∠BOC=∠AOD=α，作DM⊥x轴于M，=，OC=OD=，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得S_△POD=S_△POC？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）证明：过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG=y₁，OG=x₁．
∵点C（x₁，y₁）在双曲线y= 上，
∴x1=
∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG+OG，
∴y₁＜OC＜y₁+
（2）解：在Rt△GCO中，∠GCO=∠BOC=α，
 ，即，y₁=3x₁
∵OC²=OG²+CG²，OC=，
∴10=x₁²+y₁²，即10=x₁²+（3x₁）²
解之，得x₁=±1．
∵负值不合题意，
∴x₁=1，y₁=3．
∴点C的坐标为（1，3）．
∵点C在双曲线上，
∴，即m=3
∴双曲线的解析式为
过点D作DH⊥x轴，垂足为H．
则DH=y₂，OH=x₂
在Rt△ODH中，，即x₂=3y₂
又y₂= ，则3y₂²=3．
解之，得y₂=±1．
∵负值不合题意，
∴y₂=1，x₂=3
∴点D的坐标为（3，1）
设直线CD的解析式为y=kx+b．
设直线CD的解析式为y=kx+b．则有
解得
∴直线CD的解析式为y=-x+4
（3）解：双曲线上存在点P，使得S_△POC=S_△POD，
这个点P就是∠COD的平分线与双曲线 的交点
证明如下：
∵点P在∠COD的平分线上．
∴点P到OC、OD的距离相等．
又OD=
∴S_△POD=S_△POC．