题目

题型：竞赛题难度：来源：

A、B为定二次曲线ax²+bxy+cy²+ex+fy+g=0（a≠0）上的两个定点，过A、B任作一圆，设该圆与定二次曲线交于另外两点C、D，求证直线CD有定向。

答案

证明：取A点为坐标原点，AB为x轴，设B点坐标为（l，0），假定a=1，于是原二次曲线的方程化为
x²+bxy+cy²-lx+fy=0 （1）
过A、B的圆的方程为 x²+y²-lx+ky=0 （2）
（1）-（2）得y[bx+（c-1）y+（f-k）]=0，这是C、D坐标必须满足的方程
因为C、D不在AB线（即x轴）上，所以它们的纵坐标y≠0，
从而直线CD的方程是bx+（c-1）y+（f-k）=0  
其中x、y的系数b、c-1，都是定值，所以，直线CD有定向。