题目

题型：北京期中题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x 轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到射线AN，点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部。
（1）求线段AC的长；
（2）当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求△BCD的面积；
（3）求△BCD周长的最小值；
（4）当△BCD的周长取得最小值，且BD=时，△BCD的面积为____。
（第（4）问只需填写结论，不要求书写过程）

答案

解：（1）∵直线y=-与x轴、y轴分别交于C、A两点，
∴点C的坐标为，点A的坐标为（0，2）
∴AC=4；
（2）如图1，当AD∥BC时，依题意，可知∠DAB=45°，
∴∠ABO=45°，
∴OB=OA=2，
∵OC=，
∴BC=-2，
∴S_△BCD=，
如图2，当AB∥DC时，
可得S_△BCD=S_△ACD，
设射线AN交x轴于点E，
∵AD∥x轴，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴S_△AEC=S_△ACD，
∴S_△BCD=S_△AEC=，
综上所述，当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，
S_△BCD=；
（3）如图3，作点C关于射线AM的对称点C₁，点C关于射线AN的对称点C₂，
由轴对称的性质，可知CD=C₁D，CB=C₂B，
∴C₂B+BD+C₁D=CB+BD+CD，
连结AC₁、AC₂，
可得∠C₁AD=∠CAD，∠C₂AB=∠CAB，AC₁=AC₂=AC=4，
∵∠DAB=45°，
∴∠C₁AC₂=90°，
连结C₁C₂，
∵两点之间线段最短，
∴当B、D两点与C₁、C₂在同一条直线上时，
△BCD的周长最小，最小值为线段C₁C₂的长，
∴△BCD的周长的最小值为；
（4）。