题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y=-

3

4

x+3分别交x轴于点B和点C，点D是直线y=-

3

4

x+3与y轴的交点．
（1）求点B、C、D的坐标；
（2）设M（x，y）是直线y=x+1上一点，△BCM的面积为S，请写出S与x的函数关系式；来探究当点M运动到什么位置时，△BCM的面积为10，并说明理由．
（3）线段CD上是否存在点P，使△CBP为等腰三角形，如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案

（1）把y=0代入y=x+1得：0=x+1，
∴x=-1，
∴B（-1，0），
当x=0时，y=-

3

4

x+3=0，
∴D（0，3），
把y=0代入y=-

3

4

x+3得：0=-

3

4

x+3，
∴x=4，
∴C（4，0），
答：B（-1，0），C（4，0），D（0，3）．

（2）BC=4-（-1）=5，
∵M（x，y）在y=x+1上，
∴M（x，x+1），
过M作MN⊥x轴于N，
①当M在x轴的上方时，MN=x+1，
∴S=

1

2

BC×MN=

1

2

×5×（x+1）=

5

2

x+

5

2

；
②当M在x轴的下方时，MN=|x+1|=-x-1，
∴S=

1

2

BC×MN=

1

2

×5×（-x-1）=-

5

2

x-

5

2

；
把s=10代入得：10=

5

2

x+

5

2

得：x=3，x+1=4；
把s=10代入y=-

5

2

x-

5

2

得：x=5=-5，x+1=-4；
∴M（3，4）或（-5，-4）时，s=10；
即S与x的函数关系式是

y= 5 2 x+ 5 2 (x＞-1) y=- 5 2 x- 5 2 (x＜-1)

，点M运动到（3，4）或（-5，-4）时，△BCM的面积为10．

（3）由勾股定理得：CD=

OC2+OD2

=5，
有三种情况：
①CB=CP=5时，此时P与D重合，P的坐标是（0，3）；
②BP=PC时，此时P在BC的垂直平分线上，P的横坐标是x=

4+(-1)

2

=

3

2

，
代入y=-

3

4

x+3得：y=

15

8

，∴P（

3

2

，

15

8

）；
③BC=BP时，设P（x，-

3

4

x+3），
根据勾股定理得：（x+1）²+(-

3

4

x+3-0)2=5²，
解得：x=-

12

5

，x=4，
∵P在线段CD上，∴x=-

12

5

舍去，
当x=4时，与C重合，舍去，
∴存在点P，使△CBP为等腰三角形，P点的坐标是（0，3）或（

3

2

，

15

8

）．