题目

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：
若，则点与点的非常距离为；
若，则点与点的非常距离为；
例如：点（1，2），点（3，5），因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）．
（1）已知点A（，0），B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．
（2）已知C是直线上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应点E和点C的坐标．

答案

（1）①B（0，2）或（0，-2）；②；
（2）①最小值，C（，）；②最小值1，E（，），C（，）

解析

试题分析：（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定，据此可以求得y的值；
②设点B的坐标为（0，y）．因为，所以点A与点B的“非常距离”最小值为；
（2）①设点C的坐标为（，）．根据材料“若，则点P₁与点P₂的“非常距离”为”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为，据此可以求得点C的坐标；
②当点E在过原点且与直线垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即E（，）．解答思路同上．
（1）①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）,
，

解得，y=2或y=-2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，-2）；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为

（2）①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若，则点P₁与点P₂的“非常距离”为”解答，此时|=．即AC=AD，
∵C是直线上的一个动点，点D的坐标是（0，1），
∴设点C的坐标为（，），
，
解得，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：，
此时C（，）；
②E（，）
，
解得，
则点C的坐标为（，），
最小值为1．
点评：解答本题的关键是读懂题意，正确理解题中的“非常距离”的定义。