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题目
题型:不详难度:来源:
如图①,在平行四边形ABCD中,AB=13,BC=50,BC边上的高为12.点P从点B出发,沿B﹣A﹣D﹣A运动,沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度,沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度.点Q从点B出发沿BC方向运动,速度为每秒5个单位长度.P、Q两点同时出发,当点Q到达点C时,P、Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t(秒).连结PQ.
(1)当点P沿A﹣D﹣A运动时,求AP的长(用含t的代数式表示).
(2)连结AQ,在点P沿B﹣A﹣D运动过程中,当点P与点B、点A不重合时,记△APQ的面积为S.求S与t之间的函数关系式.
(3)过点Q作QR∥AB,交AD于点R,连结BR,如图②.在点P沿B﹣A﹣D运动过程中,当线段PQ扫过的图形(阴影部分)被线段BR分成面积相等的两部分时t的值.
(4)设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′,直接写出C′D′∥BC时t的值.

答案
(1)当点P沿A﹣D运动时,AP=8(t﹣1)=8t﹣8.
当点P沿D﹣A运动时,AP=50×2﹣8(t﹣1)=108﹣8t.
(2)S=48t﹣48  (3)t=1或   (4)t=7,t=,t=
解析
解:(1)当点P沿A﹣D运动时,AP=8(t﹣1)=8t﹣8.
当点P沿D﹣A运动时,AP=50×2﹣8(t﹣1)=108﹣8t.
(2)当点P与点A重合时,BP=AB,t=1.
当点P与点D重合时,AP=AD,8t﹣8=50,t=
当0<t<1时,如图①.

过点Q作QE⊥AB于E.
SABQ==
∴QE===
∴SAPQ=AP×EQ=(13-13t)×=﹣30t2+30t.
当1<t≤时,如图②.

S==
∴S=48t﹣48;
(3)当点P与点R重合时,
AP=BQ,8t﹣8=5t,t=
当0<t≤1时,如图③.

∵SBPM=SBQM
∴PM=QM.
∵AB∥QR,
∴∠PBM=∠QRM,∠BPM=∠MQR,
在△BPM和△RQM中

∴△BPM≌△RQM.
∴BP=RQ,
∵RQ=AB,
∴BP=AB
∴13t=13,
解得:t=1
当1<t≤时,如图④.

∵BR平分阴影部分面积,
∴P与点R重合.
∴t=
<t≤时,如图⑤.

∵SABR=SQBR
∴SABR<S四边形BQPR
∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分.
综上所述,当t=1或时,线段PQ扫过的图形(阴影部分)被线段BR分成面积相等的两部分.
(4)如图⑥,当P在A﹣D之间或D﹣A之间时,C′D′在BC上方且C′D′∥BC时,

∴∠C′OQ=∠OQC.
∵△C′OQ≌△COQ,
∴∠C′OQ=∠COQ,
∴∠CQO=∠COQ,
∴QC=OC,
∴50﹣5t=50﹣8(t﹣1)+13,或50﹣5t=8(t﹣1)﹣50+13,
解得:t=7或t=
当P在A﹣D之间或D﹣A之间,C′D′在BC下方且C′D′∥BC时,如图⑦.

同理由菱形的性质可以得出:OD=PD,
∴50﹣5t+13=8(t﹣1)﹣50,
解得:t=
∴当t=7,t=,t=时,点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′,且C′D′∥BC.
(1)分情况讨论,当点P沿A﹣D运动时,当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值;
(2)分类讨论,当0<t<1时,当1<t<时,根据三角形的面积公式分别求出S与t的函数关系式;
(3)分情况讨论,当0<t<1时,当1<t<时,当<t<时,利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可;
(4)分情况讨论当P在A﹣D之间或D﹣A之间时,如图⑥,根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形,根据其性质建立方程求出其解,当P在D﹣A之间如图⑦,根据菱形的性质建立方程求出其解即可.
核心考点
试题【如图①,在平行四边形ABCD中,AB=13,BC=50,BC边上的高为12.点P从点B出发,沿B﹣A﹣D﹣A运动,沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度,沿A】;主要考察你对一次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,直线y=﹣x+8与x轴,y轴分别交于点A和B,M是OB上的一点,若将△ABM沿AM折叠,点B恰好落在x轴上的点B′处,则直线AM的解析式为       

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观察下表,则变量y与x的关系式为(   )
A.B.C.D.

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若点在函数的图象上,则(    )
A.B.C.D.

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时,函数在同一坐标系中的图象大致是(   )

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两点在一次函数图象上的位置如图所示,两点的坐标分别为,下列结论正确的是(   )
A.B.C.D.

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